[论文解读] Optimally Solving the MCM Problem Using Pseudo-Boolean Satisfiability

Nuno P. Lopes, Levent Aksoy+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2010

Numerical Methods and Algorithms参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文首次将多重常数乘法（MCM）问题形式化为伪布尔可满足性（PBS）问题，采用三种不同的编码方案。提出了一种利用通用PBS求解器寻找最优解的精确算法，实验表明minisat+和wbo优于其他求解器，其中第三种编码在11位常数的基准实例上表现最佳。

ABSTRACT

In this report, we describe three encodings of the multiple constant multiplication (MCM) problem to pseudo-boolean satisfiability (PBS), and introduce an algorithm to solve the MCM problem optimally. To the best of our knowledge, the proposed encodings and the optimization algorithm are the first formalization of the MCM problem in a PBS manner. This report evaluates the complexity of the problem size and the performance of several PBS solvers over three encodings.

研究动机与目标

• 首次将NP难的MCM问题形式化为伪布尔可满足性（PBS）问题。
• 设计一种精确算法，利用通用PBS求解器寻找MCM问题的最优解。
• 评估多种PBS求解器在三种不同编码方案下对MCM基准实例的可扩展性和性能表现。
• 识别出在最优求解MCM问题方面最有效的编码与求解器组合。

提出的方法

• 采用三种不同方案将MCM问题编码为PBS，每种方案均以布尔逻辑和伪布尔约束的形式表示问题的约束条件和目标函数。
• 编码将MCM问题建模为有向无环图（DAG），其中中间常数通过A-操作（带移位的加法/减法）构建，起始于1。
• 目标函数最小化A-操作的数量，等价于最小化DAG中中间常数的数量。
• PBS公式化使用整数变量和线性约束来表示加法/减法与移位操作，假设移位操作免费，符号通过符号位处理。
• 算法使用现成的PBS求解器（bsolo、minisat+、wbo）在三种编码中搜索最小解。
• 使用虚拟最佳求解器（VBS）作为理论上的性能上限，用于比较不同基准测试中求解器的表现。

实验结果

研究问题

• RQ1 MCM问题能否通过伪布尔可满足性（PBS）的形式化方法实现最优求解？
• RQ2 三种提出的PBS编码中，哪一种在求解时间与可扩展性方面表现最高效？
• RQ3 主流PBS求解器（bsolo、minisat+、wbo）在求解MCM基准实例时表现如何比较？
• RQ4 基于PBS的MCM求解在位宽和操作数量方面，其实际可扩展性极限是什么？

主要发现

• 第三种编码在求解时间与可扩展性方面优于其他两种，尤其在较大的MCM实例上表现更优。
• minisat+和wbo比bsolo求解了更多问题，且minisat+在基准测试中展现出更优的可扩展性。
• wbo整体表现最佳，解决了62.1%的实例，且在SAT/UNSAT合并测试中的平均求解时间最短。
• 基于PBS的方法可扩展至约10–11位目标常数，且在A-操作数量适中的情况下表现良好，但若不进一步优化，无法扩展至更大、更现实的问题。
• 已过滤掉平凡的SAT/UNSAT情况，仅28%的FIR滤波器基准实例为非平凡情况，表明编码启发式方法可有效降低求解器负载。
• 虚拟最佳求解器（VBS）实现了最高的成功率（65.3%），表明组合多个求解器可显著提升整体性能。