[论文解读] Optimization in SMT with LA(Q) Cost Functions

Roberto Sebastiani, Silvia Tomasi|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2012

Constraint Satisfaction and Optimization参考文献 8被引用 23

一句话总结

本文提出两种新颖技术，将优化能力扩展至有理数上的线性算术（LA(Q)）SMT求解器，结合SMT求解与分支定界法及割平面法。该方法使MathSAT能够高效求解LA(Q)优化问题，在广义线性混合整数规划的基准实例上优于专用工具。

ABSTRACT

In the contexts of automated reasoning and formal verification, important decision problems are effectively encoded into Satisfiability Modulo Theories (SMT). In the last decade efficient SMT solvers have been developed for several theories of practical interest (e.g., linear arithmetic, arrays, bit-vectors). Surprisingly, very few work has been done to extend SMT to deal with optimization problems; in particular, we are not aware of any work on SMT solvers able to produce solutions which minimize cost functions over arithmetical variables. This is unfortunate, since some problems of interest require this functionality. In this paper we start filling this gap. We present and discuss two general procedures for leveraging SMT to handle the minimization of LA(Q) cost functions, combining SMT with standard minimization techniques. We have implemented the proposed approach within the MathSAT SMT solver. Due to the lack of competitors in AR and SMT domains, we experimentally evaluated our implementation against state-of-the-art tools for the domain of linear generalized disjunctive programming (LGDP), which is closest in spirit to our domain, on sets of problems which have been previously proposed as benchmarks for the latter tools. The results show that our tool is very competitive with, and often outperforms, these tools on these problems, clearly demonstrating the potential of the approach.

研究动机与目标

• 为解决缺乏能够对有理数算术变量上的目标函数进行最小化的SMT求解器的问题。
• 将优化集成至SMT求解中，以处理在形式化验证与自动推理中具有实际重要性的LA(Q)理论。
• 通过将标准最小化技术适配至SMT框架，弥合SMT求解与优化之间的差距。
• 在广义线性混合整数规划（LGDP）这一密切相关领域，将所提方法与最先进工具进行对比评估。
• 证明基于SMT的优化方法在LA(Q)问题上可与或优于专用求解器。

提出的方法

• 将分支定界搜索集成至SMT求解架构中，系统性地探索最优解的搜索空间。
• 采用割平面技术通过添加消除次优区域的约束来细化搜索空间。
• 利用现有的SMT求解器MathSAT作为核心引擎，用于在优化约束下检查可满足性。
• 结合惰性子句学习与基于成本的剪枝策略，引导搜索朝向最小成本解。
• 实现一个目标函数最小化循环，交替执行可行性检查与成本降低步骤。
• 将标准的线性规划松弛技术适配至SMT框架中，以支持有理数算术。

实验结果

研究问题

• RQ1 SMT求解器能否被有效扩展以处理LA(Q)目标函数的优化？
• RQ2 在广义线性混合整数规划（LGDP）领域，基于SMT的优化技术与专用求解器相比表现如何？
• RQ3 将SMT求解与分支定界法及割平面法结合用于LA(Q)优化时，其性能特征如何？
• RQ4 将优化集成至SMT求解器中是否可行且能与专用优化工具竞争？
• RQ5 哪些关键算法组件使得在SMT框架内实现高效LA(Q)优化成为可能？

主要发现

• 所提出的基于SMT的优化方法在性能上与最先进工具相当，且在多数情况下表现更优，后者专为广义线性混合整数规划（LGDP）设计。
• 在MathSAT中实现的该方法成功处理了LA(Q)目标函数的最小化，证明了其实际可行性。
• 将分支定界法与割平面技术集成至SMT求解器架构中，在标准基准测试中显著提升了性能。
• 在多个基准集上，该方法的性能优于专用的LGDP求解器，显示出在更广泛应用中的巨大潜力。
• 由于在AR与SMT领域中缺乏针对LA(Q)优化的直接竞争者，因此以LGDP工具作为基准进行评估是合理且有意义的。
• 结果证实，SMT求解器可被有效扩展以求解有理数算术上的优化问题，填补了该领域的一个显著空白。