[论文解读] Optimization of a Dynamic Profit Function using Euclidean Path Integral

Paramahansa Pramanik, Alan M. Polansky|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2020

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用 4

一句话总结

本文提出了一种欧几里得路径积分方法在瓦尔拉斯一般均衡、帕累托最优和非合作纳什均衡条件下优化动态利润函数的创新应用。通过利用费曼型路径积分和沃克旋转，该方法解决了传统庞特里亚金方法失效的非线性随机微分博弈（如默顿-加尔曼-哈密顿系统），实现了在线性约束和随机动态下的非加法凸策略的闭式解。

ABSTRACT

A Euclidean path integral is used to find an optimal strategy for a firm under a Walrasian system, Pareto optimality and a non-cooperative feedback Nash Equilibrium. We define dynamic optimal strategies and develop a Feynman type path integration method to capture all non-additive convex strategies. We also show that the method can solve the non-linear case, for example Merton-Garman-Hamiltonian system, which the traditional Pontryagin maximum principle cannot solve in closed form. Furthermore, under Walrasian system we are able to solve for the optimal strategy under a linear constraint with a linear objective function with respect to strategy.

研究动机与目标

• 开发一种基于路径积分的方法，用于在传统最优控制技术失效的随机环境中优化动态利润函数。
• 通过使用欧几里得路径积分，将最优控制的适用范围扩展至非线性系统（如默顿-加尔曼-哈密顿系统）。
• 在三种经济均衡框架下推导最优策略：瓦尔拉斯一般均衡、帕累托最优和非合作反馈纳什均衡。
• 在有界且完备的泛函空间下，为随机微分博弈设定中的路径积分公式建立收敛性和存在性条件。
• 采用非微扰路径积分方法，求解在策略线性约束和线性目标函数下的利润最大化问题。

提出的方法

• 采用费曼型路径积分公式，表示随时间累积利润积分的期望值，对所有可能的市场份额和策略轨迹进行积分。
• 应用沃克旋转，将随机过程转化为欧几里得作用泛函，从而可应用受量子场论启发的路径积分技术。
• 将欧几里得作用泛函 $\mathcal{A}_{0,t}(x)$ 定义为路径积分的核心，其由利润函数和动力学函数导出，在光滑性和有界导数条件下确保收敛性。
• 采用 $\omega_\varepsilon(x)$ 函数的正则化方案，确保路径积分的绝对收敛性，并在 $\varepsilon \to 0$ 时取极限。
• 在小时间区间内引入局部转移函数 $\Psi_{s,s+\Delta s}(x)$，以递归方式构建全局路径积分解，确保与随机动力学的一致性。
• 对利润和作用泛函施加光滑性和有界导数条件（假设1和假设2），以保证路径积分表示的存在性和收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于欧几里得作用泛函的路径积分公式能否解决在庞特里亚金最大值原理失效时的非线性随机微分博弈中的动态利润最大化问题？
• RQ2 费曼路径积分方法如何适应在随机动态优化设定中捕捉非加法凸策略？
• RQ3 在瓦尔拉斯、帕累托和纳什均衡约束下，动态利润函数的欧几里得路径积分在何种条件下收敛？
• RQ4 该方法能否为默顿-加尔曼-哈密顿系统（一种非线性随机控制问题）推导出闭式最优策略？
• RQ5 对策略的线性约束和线性目标函数如何影响路径积分公式的可解性和结构？

主要发现

• 路径积分公式成功以闭式解求解了默顿-加尔曼-哈密顿系统，而该问题无法通过经典庞特里亚金最大值原理求解。
• 该方法为瓦尔拉斯一般均衡提供了连贯的框架，其中每家公司在面对相同市场动态时，均旨在随时间最大化期望利润。
• 在帕累托最优情形下，路径积分方法通过单一全局作用泛函，最大化各企业利润的加权和，从而导出最优策略。
• 在非合作反馈纳什均衡中，该方法给出了一个一致的解，其中每家企业的最优策略均基于其他企业策略固定的假设推导得出。
• 在假设1和假设2条件下，路径积分的收敛性得到严格证明，这些条件要求利润和作用泛函具有光滑性和有界导数。
• 经过沃克旋转后，欧几里得作用泛函 $\mathcal{A}_{0,t}(x)$ 确保当 $G[s,x(s),u(s)] \geq 0$ 时，条件期望项保持非负，从而保持物理和经济上的可解释性。