[论文解读] Optimization of a perturbed sweeping process by constrained discontinuous controls

Giovanni Colombo, Boris S. Mordukhovich+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2018

Optimization and Variational Analysis参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文提出了一种新颖的离散逼近方法，用于推导受扰动的旁路过程控制问题的必要最优性条件，该问题具有凸多面体状态约束和可测不连续控制。通过结合变分分析与广义微分，建立了离散逼近的强收敛性，并推导出全面的一阶与二阶最优性条件，显著扩展了在更宽松假设下的先前结果。

ABSTRACT

This paper deals with optimal control problems described by a controlled version of Moreau's sweeping process governed by convex polyhedra, where measurable control actions enter additive perturbations. This class of problems, which addresses unbounded discontinuous differential inclusions with intrinsic state constraints, is truly challenging and underinvestigated in control theory while being highly important for various applications. To attack such problems with constrained measurable controls, we develop a refined method of discrete approximations with establishing its well-posedness and strong convergence. This approach, married to advanced tools of first-order and second-order variational analysis and generalized differentiations, allows us to derive adequate collections of necessary optimality conditions for local minimizers, first in discrete-time problems and then in the original continuous-time controlled sweeping process by passing to the limit. The new results include an appropriate maximum condition and significantly extend the previous ones obtained under essentially more restrictive assumptions. We compare them with other versions of the maximum principle for controlled sweeping processes that have been recently established for global minimizers in problems with smooth sweeping sets by using different techniques. The obtained necessary optimality conditions are illustrated by several examples.

研究动机与目标

• 解决受扰动旁路过程控制的问题，该问题具有凸多面体状态约束和可测控制。
• 克服旁路过程中法锥映射非利普希茨性与不连续性带来的挑战。
• 为这类问题开发一个具有良好适定性且具有强收敛性的离散逼近方案。
• 利用变分分析的先进工具，为局部极小化器推导全面的必要最优性条件。
• 将新结果与在不同假设下针对全局极小化器的现有最大值原理进行比较。

提出的方法

• 为具有约束可测控制的受控旁路过程开发一种改进的离散逼近方法，确保其良好适定性与强收敛性。
• 应用一阶与二阶变分分析及广义微分的工具，分析离散问题。
• 推导离散时间问题的必要最优性条件，并取极限以获得连续时间旁路过程的条件。
• 利用最大值条件与伴随系统刻画最优控制-轨迹对。
• 实施测度非原子性条件，以处理伴随弧与控制约束的结构。
• 采用法锥条件的极大化形式，以控制集表示对偶动力学。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为受扰动旁路过程控制的不连续动力学问题推导必要最优性条件？
• RQ2 离散逼近在处理具有状态约束的旁路过程的非利普希茨行为中起到什么作用？
• RQ3 新推导的最优性条件与在更光滑设定下现有针对全局极小化器的最大值原理相比如何？
• RQ4 所提出的方法在逼近过程中如何体现对硬性控制与状态约束的处理？
• RQ5 为何在活动约束存在时，新条件优于基于惩罚的方法？

主要发现

• 离散逼近方案具有良好的适定性，并强收敛于原始连续时间问题，确保极限过程的有效性。
• 本文推导出一组全面的必要最优性条件，包括最大值条件与横截性条件，适用于局部极小化器。
• 在二维单位方块控制集的示例中，证明伴随弧为常数，从而简化了最优性系统。
• 当轨迹在时间 T 到达多面体集边界时实现最优控制，且两个控制分量均等于 1/2。
• 与 [3] 的比较表明，该方法在处理活动约束方面优于基于惩罚的方法，尤其适用于受约束影响的控制。
• 最优轨迹为 $\bar{x}(t) = (-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}t, -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}t)$，实现最小成本为 0。