[论文解读] Optimization of conditional convex risk measures

Tiexin Guo|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2019

Risk and Portfolio Optimization参考文献 37被引用 4

一句话总结

本文通过随机泛函分析，建立了动态投资组合选择中条件凸风险度量优化的存在性与唯一性条件。它为条件单调均值-方差优化提供了必要且充分的条件，并通过有界收益约束下的 $L^0$–凸紧致性，证明了条件指数风险度量的存 在性与唯一性。

ABSTRACT

Optimization of conditional convex risk measure is a central theme in dynamic portfolio selection theory, which has not yet systematically studied in the previous literature perhaps since conditional convex risk measures are neither random strictly convex nor random coercive. The purpose of this paper is to give some basic results on the existence and uniqueness on this theme, in particular our results for conditional monotone mean--variance and conditional entropic risk measures are complete and deep. As the basis for the work of this paper, this paper first begins with a brief introduction to random functional analysis, including the historical backgrounds for its birth and some important advances. This paper then further surveys some recent progress in random convex analysis and its applications to conditional convex risk measures. Finally, based on these, we establish a concise sufficient and necessary condition for a return to be a solution to the optimization problem of conditional monotone mean--variance. We also make use of the recently developed theory of $L^0$--convex compactness to establish the existence of the optimization problem of conditional entropic risk measure when the conditional mean of returns is given and the returns fall within a random closed ball. Besides, the related uniqueness problems are also solved.

研究动机与目标

• 解决对条件凸风险度量优化缺乏系统研究的问题，这些风险度量既非随机严格凸也非强制的。
• 在随机泛函分析中建立基础结果，特别是 $L^0$–凸紧致性，以支持动态风险度量下的优化。
• 对条件单调均值-方差与指数风险度量优化问题进行完整而深入的分析。
• 利用新颖的理论工具，解决在条件风险度量下投资组合选择中的存在性与唯一性问题。

提出的方法

• 利用随机泛函分析，特别是随机赋范模中的 $L^0$–凸紧致性，处理非强制且非严格凸的风险度量。
• 在随机自反 $RN$ 模中应用 Hahn–Banach 定理，处理几乎必然有界的随机线性泛函。
• 利用 $RLC$ 模中点与闭 $L^0$–凸集之间的分离定理，推导存在性结果。
• 通过 $RIP$ 模的随机严格凸性，利用柯西-施瓦茨不等式中的等号条件，证明唯一性。
• 引入约束集 $G = \{x \in M : \pi(x) = 1, E[x|\mathcal{F}] = w, \|x\|_p \leq r\}$，在标准集合失效时确保存在性。
• 通过条件期望与对数变换表示条件指数风险度量，推导唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，条件单调均值-方差风险度量的最优投资组合存在？
• RQ2 当风险度量缺乏强制性时，如何保证条件指数风险度量优化的存在性？
• RQ3 在条件单调均值-方差优化中，何种条件是回报最优的必要且充分条件？
• RQ4 条件指数风险度量优化问题的解在何时唯一？
• RQ5 如何将 $L^0$–凸紧致性应用于克服条件风险优化中标准凸性与强制性的缺失？

主要发现

• 通过 $L^0$–凸紧致性与分离定理，建立了条件单调均值-方差风险度量优化中最优性的必要且充分条件。
• 当收益被限制在随机闭球内且条件均值固定时，证明了条件指数风险度量优化存在最优解。
• 通过随机柯西-施瓦茨不等式中的等号条件，确立了条件指数风险度量优化最优解的唯一性。
• 若两个解产生相等的风险，则通过对数变换与条件期望可推出它们几乎必然相等，因此条件指数风险度量问题的解是唯一的。
• 约束集 $G = \{x : \pi(x) = 1, E[x|\mathcal{F}] = w, \|x\|_p \leq r\}$ 在标准集合因缺乏强制性而失效时，确保了解的存在性。
• 唯一性证明依赖于证明 $x = e^{-\gamma u/2} = \alpha y = e^{-\gamma v/2}$，从而推出 $\alpha = 1$，因此 $u = v$ 几乎必然。