[论文解读] Optimization of the $H_\infty$-norm of Dynamic Flow Networks

Alexander Johansson, Jieqiang Wei+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2017

Interconnection Networks and Systems参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文提出一个优化框架，通过分配边权（例如管道容量）来最小化动态流网络（如管道网络等分配系统）的 $ olimits\mathcal{H}_\infty$-范数。利用线性矩阵不等式（LMIs），研究证明在单输入单输出（SISO）系统中，$ olimits\mathcal{H}_\infty$-范数等于源节点与汇点之间节点的有效电阻，并推导出基于图的代数连通性的上界，从而实现不确定性下的鲁棒设计。

ABSTRACT

In this paper, we study the $H_\infty$-norm of linear systems over graphs, which is used to model distribution networks. In particular, we aim to minimize the $H_\infty$-norm subject to allocation of the weights on the edges. The optimization problem is formulated with LMI (Linear-Matrix-Inequality) constraints. For distribution networks with one port, i.e., SISO systems, we show that the $H_\infty$-norm coincides with the effective resistance between the nodes in the port. Moreover, we derive an upper bound of the $H_\infty$-norm, which is in terms of the algebraic connectivity of the graph on which the distribution network is defined.

研究动机与目标

• 最小化线性动态流网络的$\mathcal{H}_\infty$-范数，以量化对外部扰动的鲁棒性。
• 通过使用线性矩阵不等式（LMIs）的凸优化框架，分配边权（如管道容量），以实现最小化$\mathcal{H}_\infty$-范数。
• 建立$\mathcal{H}_\infty$-范数与图论量（如有效电阻和代数连通性）之间的联系。
• 当无法获得输入矩阵$E$的完整信息时，提供一种次优但鲁棒的设计策略。

提出的方法

• 将$\mathcal{H}_\infty$-范数最小化问题表述为带有边权LMIs约束的凸优化问题。
• 利用状态空间对称系统中$\mathcal{H}_\infty$-范数在零频率处取得的性质，简化分析。
• 将Riccati不等式解释为在带符号图（具有正负边权）上拉普拉斯矩阵的定正性条件。
• 对于$E = e_i - e_j$的SISO系统，证明$\mathcal{H}_\infty$-范数等于节点$i$与$j$之间的有效电阻。
• 推导出基于底层图的代数连通性$\lambda_2(L_w)$的$\mathcal{H}_\infty$-范数上界。
• 使用YALMIP数值求解，约束条件为总容量$\sum \omega_i = c$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过最优边权分配最小化动态流网络的$\mathcal{H}_\infty$-范数？
• RQ2 在SISO动态流网络中，$\mathcal{H}_\infty$-范数与有效电阻之间有何关系？
• RQ3 能否仅基于图的代数连通性推导出$\mathcal{H}_\infty$-范数的上界？
• RQ4 当输入矩阵$E$部分未知时，如何确保系统的鲁棒性？

主要发现

• 在SISO动态流网络中，$\mathcal{H}_\infty$-范数恰好等于源节点与汇点之间节点的有效电阻。
• 在数值示例中，最优管道容量分配结果为$w_{12}^* = 0.6$，$w_{24}^* = 0.4$，且最小$\mathcal{H}_\infty$-范数为$\gamma^* = 5$。
• 通过验证在测试输入信号下$\|y(t)\|_2 \leq \gamma^* \|d(t)\|_2$，数值上确认了$\mathcal{H}_\infty$-范数。
• 推导出仅依赖于代数连通性$\lambda_2(L_w)$的$\mathcal{H}_\infty$-范数上界，从而实现不确定性下的鲁棒设计。
• 在$E$未知时，通过在总容量约束下最大化代数连通性，可获得次优但有界的解。