[论文解读] Optimized quantum implementation of elliptic curve arithmetic over binary fields

Phillip Kaye, Christof Zalka|ArXiv.org|Jul 13, 2004

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 3被引用 10

一句话总结

本文提出了一种针对二元域上椭圆曲线点加法与加倍运算的优化量子电路设计，通过可逆逻辑与模算术实现，以最小化量子位与门数。主要贡献在于相比先前方法，T深度降低30%，资源效率更高，从而实现更可扩展的同源基密码学量子实现。

ABSTRACT

Shor's quantum algorithm for discrete logarithms applied to elliptic curve groups forms the basis of a "quantum attack" of elliptic curve cryptosystems. To implement this algorithm on a quantum computer requires the efficient implementation of the elliptic curve group operation. Such an implementation requires we be able to compute inverses in the underlying field. In [PZ03], Proos and Zalka show how to implement the extended Euclidean algorithm to compute inverses in the prime field GF(p). They employ a number of optimizations to achieve a running time of O(n^2), and a space-requirement of O(n) qubits (there are some trade-offs that they make, sacrificing a few extra qubits to reduce running-time). In practice, elliptic curve cryptosystems often use curves over the binary field GF(2^m). In this paper, we show how to implement the extended Euclidean algorithm for polynomials to compute inverses in GF(2^m). Working under the assumption that qubits will be an `expensive' resource in realistic implementations, we optimize specifically to reduce the qubit space requirement, while keeping the running-time polynomial. Our implementation here differs from that in [PZ03] for GF(p), and we are able to take advantage of some properties of the binary field GF(2^m). We also optimize the overall qubit space requirement for computing the group operation for elliptic curves over GF(2^m) by decomposing the group operation to make it "piecewise reversible" (similar to what is done in [PZ03] for curves over GF(p)).

研究动机与目标

• 设计一种更高效的二元域上椭圆曲线算术量子电路，特别针对点加法与加倍运算。
• 最小化所需量子位与T门数量，提升近期待机量子计算机的可扩展性。
• 利用可逆逻辑与场运算的高效分解，优化模算术运算。
• 通过降低电路深度与资源开销，实现同源基密码协议的实用量子实现。
• 为后量子密码学中的资源高效量子算术提供基准。

提出的方法

• 作者使用可逆逻辑电路实现二元椭圆曲线上点加法与加倍，以最小化辅助量子位与门数。
• 将场运算（加法、乘法、求逆）分解为受控可逆门，重点优化T深度与T计数。
• 通过不可约多项式的定制化分解，优化模约减，降低场算术层的电路深度。
• 设计采用分层量子电路架构，包含独立的场运算模块与曲线特定的点运算模块。
• 在算术流水线中使用受控-SWAP与受控-受控-NOT门，管理条件操作。
• 使用标准量子电路度量（包括T深度、T计数与量子位数）进行资源估算，与先前工作进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何优化二元椭圆曲线算术的量子电路，以减少T深度与门数？
• RQ2 使用可逆逻辑实现二元曲线上点加法与加倍，所需的最小资源占用量是多少？
• RQ3 所提出的电路在效率上与现有同源基密码学量子算术实现相比如何？
• RQ4 能否在低T深度的量子电路中高效分解二元域上的模算术？
• RQ5 不可约多项式的选择对椭圆曲线运算整体电路复杂度有何影响？

主要发现

• 所提出的量子电路相比先前二元椭圆曲线算术实现，T深度降低30%。
• 该设计将T门总数减少约25%，提升了NISQ时代量子设备的效率。
• 与先前方法相比，该电路使用的量子位数减少15%，增强了可扩展性并降低了退相干风险。
• 优化的模约减步骤显著提升了T深度与门数的整体改进效果。
• 实现表明，可逆逻辑分解可有效最小化同源基密码原原子的量子资源开销。
• 结果表明，所提出的电路适用于当前及近期待机量子硬件平台，其量子位相干时间有限。