[论文解读] Optimized Runge-Kutta Methods with Automatic Step Size Control for Compressible Computational Fluid Dynamics

Hendrik Ranocha, Lisandro Dalcín+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2021

Numerical methods for differential equations参考文献 84被引用 51

一句话总结

本论文提出了一种用于可压缩计算流体动力学（CFD）的优化显式Runge-Kutta方法，采用基于误差的控制器实现自适应时间步长控制，而非固定CFL数。该方法在稳定性受限的区域实现了接近最优的效率，并在精度受限的区域提供了精确的时间误差控制，相较于传统的CFL基方法，在工业CFD基准测试和具有挑战性的粘性激波模拟中均表现出更优性能。

ABSTRACT

We develop error-control based time integration algorithms for compressible fluid dynamics (CFD) applications and show that they are efficient and robust in both the accuracy-limited and stability-limited regime. Focusing on discontinuous spectral element semidiscretizations, we design new controllers for existing methods and for some new embedded Runge-Kutta pairs. We demonstrate the importance of choosing adequate controller parameters and provide a means to obtain these in practice. We compare a wide range of error-control-based methods, along with the common approach in which step size control is based on the Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) number. The optimized methods give improved performance and naturally adopt a step size close to the maximum stable CFL number at loose tolerances, while additionally providing control of the temporal error at tighter tolerances. The numerical examples include challenging industrial CFD applications.

研究动机与目标

• 解决可压缩CFD模拟中基于CFL的时间步长控制效率低下及手动调参负担过重的问题。
• 开发在稳定性受限和精度受限两种情形下均保持高效率的误差控制时间积分算法。
• 设计专用于不连续谱元方法的优化嵌入式Runge-Kutta对及基于PID的步长控制器。
• 证明基于误差的控制可在宽松容差下自然趋近最大稳定CFL数，同时在严格容差下确保时间误差控制。
• 为实际CFD应用中确保稳定性和效率，提供控制器参数选择的实用指导。

提出的方法

• 设计新型嵌入式Runge-Kutta对，其稳定性区域经优化，并配备嵌入式误差估计器，用于h-p自适应谱元方法。
• 实现基于PID的步长控制器，根据局部截断误差估计调整时间步长，确保稳定性和精度。
• 使用Butcher表格表示法定义低存储、首部与末尾相同（FSAL）的Runge-Kutta对，并集成嵌入式误差估计。
• 将时间积分器与可压缩Euler方程和Navier-Stokes方程的不连续伽辽金半隐式离散化方法相结合。
• 在基于PETSc构建的SSDC求解器框架中应用控制器，以支持可扩展的非结构化曲面网格模拟。
• 通过数值实验校准控制器参数（如比例、积分、微分增益），确保鲁棒性与稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于误差的步长控制是否能在不需手动调节CFL数的前提下，实现与CFL基控制在稳定性受限CFD区域相当的效率？
• RQ2 在不同容差下，优化的嵌入式Runge-Kutta对结合自适应控制器与标准方法相比，在精度和计算成本方面表现如何？
• RQ3 何种控制器参数设置可确保在高阶、不连续谱元离散化中实现步长控制的稳定性和鲁棒性？
• RQ4 基于误差的控制在接近稳定性极限时，能在多大程度上保持接近最优的时间步长，同时在严格容差下仍能控制时间误差？
• RQ5 新方法在具有挑战性的工业CFD问题（如粘性激波和湍流流场）中的表现如何？

主要发现

• 优化后的误差控制方法在稳定性受限区域实现了接近最优的效率，可在宽松容差下自动采用接近最大稳定CFL数的时间步长。
• 在严格容差下，该方法提供了可靠的时序误差控制，误差保持有界并以预期阶数收敛，如粘性激波测试中的L2误差范数所示。
• 对于p=4的多项式，RK5(4)10F[3S*+]格式在容差10−6下仅需135,081次函数求值即达到L2误差5.42×10−5，表现出极高的效率。
• RK4(3)9F[3S*+]格式在容差10−8下实现了1.00×10−7的相对L2误差，仅需108,879次函数求值，表明其具备极佳的精度与稳定性。
• 所提出的控制器在效率和鲁棒性方面均优于CFL基控制，尤其在精度受限区域表现更优，因CFL控制在该区域难以有效降低误差。
• 控制器参数（如β = (0.45, -0.13, 0.00)）对稳定性至关重要；不当设置会导致步长被拒绝或发散，凸显系统性校准的必要性。