[论文解读] Optimizing Connected Components Graph Partitioning With Minimum Size Constraints Using Integer Programming and Spectral Clustering Techniques

Mishelle Cordero, Andrés Miniguano–Trujillo+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2022

VLSI and FPGA Design Techniques参考文献 43被引用 5

一句话总结

本文提出一种混合整数规划（MIP）方法，结合分支定界与列生成技术，用于求解具有最小规模约束的连通分量图划分问题，以最小化总边成本。通过基于流的公式引入新颖的有效不等式和连通性约束，实验证明在模拟实例上显著改善了最优性差距与求解时间，且在民调员路线规划中具有实际应用价值。

ABSTRACT

In this work, a graph partitioning problem in a fixed number of connected components is considered. Given an undirected graph with costs on the edges, the problem consists of partitioning the set of nodes into a fixed number of subsets with minimum size, where each subset induces a connected subgraph with minimal edge cost. The problem naturally surges in applications where connectivity is essential, such as cluster detection in social networks, political districting, sports team realignment, and energy distribution. Mixed Integer Programming formulations together with a variety of valid inequalities are demonstrated and computationally tested. An assisted column generation approach by spectral clustering is also proposed for this problem with additional valid inequalities. Finally, the methods are tested for several simulated instances, and computational results are discussed. Overall, the proposed column generation technique enhanced by spectral clustering offers a promising approach to solve clustering and partitioning problems.

研究动机与目标

• 为厄瓜多尔国家统计局在日常民调员路线规划中出现的真实图划分问题提供解决方案。
• 确保每个子集诱导出一个连通子图，并满足最小节点数约束（α ≥ 2）。
• 最小化每个连通分量内的总边成本。
• 开发并测试具有强有效不等式与连通性约束的MIP公式。
• 通过模拟实例评估性能，并比较解决方案质量与效率。

提出的方法

• 采用基于流的连通性约束的混合整数规划公式，确保每个子集诱导出连通子图。
• 引入多类有效不等式以强化MIP松弛，减少最优性差距。
• 采用分支定界框架，在优化过程中系统性地分离并添加有效不等式。
• 提出一种结合额外割的列生成方法，以高效处理大规模实例。
• 结合连通性约束与边成本最小化以建模目标函数。
• 实施一种混合方法，整合MIP与列生成技术，以提升可扩展性与解的质量。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用混合整数规划有效建模具有最小规模约束的连通分量图划分问题？
• RQ2 哪些类别的有效不等式在分支定界过程中显著减少最优性差距与分支定界节点数？
• RQ3 列生成方法在多大程度上提升了大规模实例的求解时间与最优性差距？
• RQ4 在模拟图实例上，所提出的公式与割约束在性能上如何比较？
• RQ5 所提出的方法能否在具有连通性与规模约束的实际路由问题中有效应用？

主要发现

• 所提出的带有效不等式的MIP公式在所有测试实例中显著降低了最优性差距与分支定界节点数。
• 对于(60, 102, 9)实例，最优性差距降低至21，仅需6个B&B节点，求解时间为421秒。
• 结合额外割的列生成方法提升了求解效率，尤其在较大实例（如(65, 1352, 9)）上表现显著，最优性差距降至33,615，B&B节点数为216。
• 在全部25个测试的模拟实例中，包括最大达1,500个节点的大型图，该方法均获得了最优或近似最优解。
• 计算结果证实，引入有效不等式可加快收敛速度，并优于基线MIP模型的性能。
• 该方法成功应用于实际民调员路线规划问题，验证了其实际应用价值与可扩展性。