[论文解读] Optimizing entropy relative to a channel or a subalgebra

Armin Uhlmann|ArXiv.org|Jan 14, 1997

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 10被引用 15

一句话总结

本文提出了一种基于屋面（roof）的框架，用于优化相对于量子通道或子代数的熵，扩展了Connes、Narnhofer和Thirring定义的相对于态的子代数熵。该研究证明熵泛函 $ H_{\omega}(\alpha) $ 唯一地由输出熵与一个凹屋面 $ R $ 的和所表征，关键结果表明：对于纯态有 $ H_{\omega} = 0 $，且 $ R $ 是连续且凸的，从而可通过极值分解实现高效计算。

ABSTRACT

After recalling definition, monotonicity, concavity, and continuity of a channel's entropy with respect to a state (finite dimensional cases only), I introduce the roof property, a convex analytic tool, and show its use in treating an example. Full proofs and more examples will appear elsewhere. The relation (a la Benatti) to accessible information is mentioned.

研究动机与目标

• 开发用于计算和表征相对于态的量子子代数或通道熵的工具，特别是在有限维系统中。
• 通过引入屋面概念，扩展Connes、Narnhofer和Thirring的框架，以处理熵泛函 $ H_{\omega}(\alpha) $。
• 证明 $ H_{\omega}(\alpha) $ 唯一地由其在纯态上取值为零，以及其分解为凹屋面与输出熵的和这一性质所表征。
• 证明泛函 $ R(\omega) $（表示在极值分解上相对熵的下确界）是一个凸屋面，因此连续且可通过纯态系综计算。

提出的方法

• 本文使用‘屋面’概念——即在最优纯态集合的凸包上为仿射的泛函——来表征熵 $ H_{\omega}(\alpha) $。
• 定义 $ H_{\omega}(\alpha) = S(\omega \circ \alpha) - R(\omega) $，其中 $ R(\omega) $ 是态空间上熵泛函的凸包。
• 应用屋面概念以证明 $ R(\omega) $ 是连续且凸的，并且最优分解仅需使用纯态。
• 通过利用 $ S(\omega \circ \alpha) $ 的凹性与 $ R(\omega) $ 的凸性，证明 $ H_{\omega}(\alpha) $ 关于 $ \omega $ 是凹的。
• 应用Carathéodory定理，证明每个态均存在一个由有限个纯态构成的最优极值分解。
• 分析了两个例子：(1) 量子比特对角子代数，得到 $ R(\omega) = s(q) + s(1-q) $，其中 $ q = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{1 - 4|z|^2} $；(2) 块对角子代数，其中 $ R(\omega) \leq r_2(\sum |z_j|) $，当 $ \sum |z_j| \leq \frac{1}{2} $ 时取等号。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地优化相对于态的量子通道或子代数的熵？
• RQ2 在态空间上，泛函 $ H_{\omega}(\alpha) $ 的唯一表征特性是什么？
• RQ3 在何种条件下，相对熵表达式 $ R(\omega) $ 中的下确界可通过极值（纯态）分解实现？
• RQ4 能否证明泛函 $ R(\omega) $ 是一个凸屋面？其对连续性与可计算性有何影响？
• RQ5 在何种情况下，熵泛函 $ H_{\omega}(\alpha) $ 退化为标准的冯诺依曼熵？

主要发现

• 熵 $ H_{\omega}(\alpha) $ 唯一地表征为输出熵 $ S(\omega \circ \alpha) $ 与一个凹屋面 $ R(\omega) $ 的和，且对纯态有 $ H_{\omega}(\alpha) = 0 $。
• 泛函 $ R(\omega) $ 定义为所有凸分解 $ \{p_j; \omega_j\} \mapsto \omega $ 上 $ \sum p_j S(\omega_j \circ \alpha) $ 的下确界，其在态空间上是凸且连续的。
• 每个态 $ \omega $ 均存在一个最优极值分解，由纯态构成，使得 $ H_{\omega}(\alpha) = I(\mathcal{E}, \alpha) $ 且 $ R(\omega) = \sum p_j S(\varrho_j) $。
• 对于对角子代数的量子比特情形，$ R(\omega) = s(q) + s(1-q) $，其中 $ q = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{1 - 4|z|^2} $，且该表达式在 $ |z| $ 上是凸的。
• 在 $ (n+1) \times (n+1) $ 情形下，若输出代数为块对角形式，则 $ R(\omega) \leq r_2(\sum |z_j|) $，且当 $ \sum |z_j| \leq \frac{1}{2} $ 时取等号，其中 $ r_2(z) = \ln 2 - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(1 - 4z^2)^k}{2k(2k-1)} $。
• 泛函 $ R(\omega) $ 是一个凸屋面，若两个凸屋面在态空间的极值边界上一致，则它们完全相同，从而保证了唯一性。