[论文解读] Optimizing Geometric Multigrid Methods with Evolutionary Computation

Jonas Schmitt, Sebastian Kuckuk+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2019

Evolutionary Algorithms and Applications参考文献 20被引用 5

一句话总结

本文提出一种进化计算方法，通过领域特定语法自动生成符号化多重网格表达式，利用自动局部傅里叶分析和屋顶模型对收敛性和性能进行建模，从而自动优化几何多重网格求解器。该方法演化出类似V-和W-循环的求解器，在常系数和变系数的二维与三维稳态热方程上均优于标准循环。

ABSTRACT

For many linear and nonlinear systems that arise from the discretization of partial differential equations the construction of an efficient multigrid solver is a challenging task. Here we present a novel approach for the optimization of geometric multigrid methods that is based on evolutionary computation, a generic program optimization technique inspired by the principle of natural evolution. A multigrid solver is represented as a tree of mathematical expressions which we generate based on a tailored grammar. The quality of each solver is evaluated in terms of convergence and compute performance using automated local Fourier analysis (LFA) and roofline performance modeling, respectively. Based on these objectives a multi-objective optimization is performed using strongly typed genetic programming with a non-dominated sorting based selection. To evaluate the model-based prediction and to target concrete applications, scalable implementations of an evolved solver can be automatically generated with the ExaStencils framework. We demonstrate our approach by constructing multigrid solvers for the steady-state heat equation with constant and variable coefficients that consistently perform better than common V- and W-cycles.

研究动机与目标

• 自动化设计偏微分方程的高性能几何多重网格求解器。
• 通过在形式语法中编码求解器结构，克服多重网格求解器构建过程中手动且依赖专家的复杂性。
• 利用多目标进化算法，同时优化多重网格求解器的收敛速度与计算性能。
• 利用ExaStencils框架从演化出的求解器自动生成可扩展、可投入生产的代码。
• 在具有变系数和常系数的稳态热方程上验证该方法的有效性。

提出的方法

• 定义一种上下文无关语法，用于生成有效的多重网格求解器表达式，编码松弛方法、限制、延拓及粗网格校正。
• 每个求解器表示为源自该语法的符号表达式树，与网格尺寸无关。
• 通过自动局部傅里叶分析（LFA）评估收敛性，以估计迭代矩阵的谱半径。
• 通过屋顶模型预测计算性能，以估计所有操作的综合执行时间。
• 采用强类型遗传编程与非支配排序选择，执行多目标优化，以平衡收敛性与性能。
• 将演化出的求解器编译为领域特定语言（DSL），并利用ExaStencils代码生成框架自动实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 进化计算能否在无需人工专家干预的情况下自动生成高性能几何多重网格求解器？
• RQ2 形式语法规则能否有效编码适用于不同网格层级的高效且有效的多重网格求解器结构？
• RQ3 基于模型的收敛性与性能预测能否有效指导多重网格求解器的多目标优化？
• RQ4 演化出的求解器在热方程的收敛性和运行时间方面是否优于标准的V-和W-循环？
• RQ5 演化出的求解器结构能否揭示最优多重网格设计中的可推广模式？

主要发现

• 对于具有常系数和变系数的二维与三维稳态热方程，演化出的求解器在收敛性和性能方面始终优于标准V-和W-循环。
• 演化出的求解器表现出一种共同的结构模式：采用V-循环拓扑，结合混合红-黑高斯-赛德尔与雅可比平滑，使用欠松弛和过松弛的雅可比迭代进行后平滑。
• 对于前平滑，通常使用一步红-黑高斯-赛德尔，随后是可变数量的雅可比步骤，且在较粗层级上使用更多平滑步骤。
• 进化算法发现，每迭代仅对角逆算子应用一次，并通过不同松弛因子和分区重复应用，可获得更优性能。
• 该方法成功通过ExaStencils生成了可扩展、可投入生产的代码，证实了其实际可部署性。
• 语法中未对高斯-赛德尔或雅可比方法施加显式约束，导致最优模式自然涌现，表明该方法具备自主发现有效配置的能力。