[论文解读] Optimizing MGRIT and Parareal coarse-grid operators for linear advection

Hans De Sterck, Robert D. Falgout+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2019

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 17被引用 6

一句话总结

本文针对线性对流问题，提出了用于MGRIT和Parareal求解器的优化粗网格算子，以基于优化方法推导出的特征感知算子替代标准的重新离散化方法。通过在粗网格上追踪特征曲线，该方法在各种时间步长格式下仅需少数几次迭代即可实现可扩展的收敛性，解决了双曲型PDE中长期存在的可扩展性问题。

ABSTRACT

Parallel-in-time methods, such as multigrid reduction-in-time (MGRIT) and Parareal, provide an attractive option for increasing concurrency when simulating time-dependent PDEs in modern high-performance computing environments. While these techniques have been very successful for parabolic equations, it has often been observed that their performance suffers dramatically when applied to advection-dominated problems or purely hyperbolic PDEs using standard rediscretization approaches on coarse grids. In this paper, we apply MGRIT or Parareal to the constant-coefficient linear advection equation, appealing to existing convergence theory to provide insight into the typically non-scalable or even divergent behavior of these solvers for this problem. To overcome these failings, we replace rediscretization on coarse grids with improved coarse-grid operators that are computed by applying optimization techniques to approximately minimize error estimates from the convergence theory. One of our main findings is that, in order to obtain fast convergence as for parabolic problems, coarse-grid operators should take into account the behavior of the hyperbolic problem by tracking the characteristic curves. Our approach is tested for schemes of various orders using explicit or implicit Runge-Kutta methods combined with upwind-finite-difference spatial discretizations. In all cases, we obtain scalable convergence in just a handful of iterations, with parallel tests also showing significant speed-ups over sequential time-stepping. Our insight of tracking characteristics on coarse grids provides a key idea for solving the long-standing problem of efficient parallel-in-time integration for hyperbolic PDEs.

研究动机与目标

• 解决在使用标准粗网格重新离散化时，MGRIT和Parareal在对流主导及双曲型PDE中收敛性差、可扩展性差的问题。
• 通过分析收敛性理论中的误差估计，识别标准方法在处理线性对流问题时失效的原因。
• 开发能反映双曲型问题特征（尤其是特征曲线行为）的改进型粗网格算子。
• 通过基于优化的算子设计，实现线性对流问题在并行时间求解器中的可扩展、快速收敛。
• 在多种时间积分格式（包括显式与隐式Runge-Kutta方法及迎风有限差分格式）上验证该方法的适用性。

提出的方法

• 该方法用通过最小化现有收敛性理论中误差估计而获得的优化算子，替代标准的粗网格重新离散化。
• 采用优化技术构建粗网格算子，通过追踪特征曲线来体现对流的定向特性。
• 该方法同时适用于MGRIT和Parareal，两者使用相同的优化算子。
• 算子专为常系数线性对流问题设计，确保与细网格空间离散化（如迎风有限差分）的一致性。
• 在多种时间积分格式（包括显式与隐式Runge-Kutta方法）下进行测试，以评估其鲁棒性与可扩展性。
• 评估并行性能，以确认其在并行时间推进中相比顺序时间推进具有显著加速效果，验证其在高性能计算环境中的实际应用价值。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何在使用标准粗网格重新离散化时，MGRIT和Parareal在处理线性对流问题时会出现收敛困难或可扩展性差的问题？
• RQ2 如何改进粗网格算子以反映对流主导PDE的双曲特性？
• RQ3 特征曲线在设计适用于并行时间方法的高效粗网格算子中起到何种作用？
• RQ4 通过优化粗网格算子，是否能在仅少数几次迭代内实现线性对流问题的可扩展收敛？
• RQ5 所提出的算子在不同时间积分格式和空间离散化方式下，其鲁棒性在多大程度上得以保持？

主要发现

• 所提出的优化粗网格算子在仅少数几次迭代内即实现线性对流问题的可扩展收敛，解决了标准MGRIT和Parareal方法通常不可扩展的缺陷。
• 通过在粗网格算子中引入特征曲线追踪机制，显著减少了误差传播，加速了收敛过程。
• 该方法在多种时间积分格式下均表现有效，包括显式与隐式Runge-Kutta方法，展现出广泛的适用性。
• 即使在细网格采用迎风有限差分格式的情况下，优化算子也优于标准的粗网格重新离散化方法。
• 并行性能测试结果证实，与顺序时间推进相比，该方法实现了显著的加速，验证了其在高性能计算环境中的实际相关性。