[论文解读] Optimizing quantum circuit parameters via SDP

Eunou Lee|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新颖的框架，通过半定规划（SDP）舍入来优化参数化量子线路中的参数。通过将SDP解舍入为线路参数，作者开发出一种多项式时间的0.562-近似算法，用于通用量子最大割问题，优于此前最佳比率小于0.54的水平。

ABSTRACT

In recent years, parameterized quantum circuits have become a major tool to design quantum algorithms for optimization problems. The challenge in fully taking advantage of a given family of parameterized circuits lies in finding a good set of parameters in a non-convex landscape that can grow exponentially to the number of parameters. We introduce a new framework for optimizing parameterized quantum circuits: round SDP solutions to circuit parameters. Within this framework, we propose an algorithm that produces approximate solutions for a quantum optimization problem called Quantum Max Cut. The rounding algorithm runs in polynomial time to the number of parameters regardless of the underlying interaction graph. The resulting 0.562-approximation algorithm for generic instances of Quantum Max Cut improves on the previously known best algorithms, which give approximation ratios of less than 0.54.

研究动机与目标

• 解决在非凸且指数级增长的参数空间中优化量子线路参数的挑战。
• 克服现有严格算法的局限性，这些算法将每层参数限制为相等值或要求特殊的图结构。
• 为量子最大割问题开发一种通用、高效且可证明性能良好的近似算法，不施加对相互作用图或参数空间的限制。
• 将Goemans-Williamson SDP舍入范式应用于量子场景，推导出一种新型量子近似算法。
• 在量子最大割问题（一个QMA-难问题）上，实现对现有算法近似比率的可证明改进。

提出的方法

• 使用泡利矩阵将量子最大割问题表述为一个两体局部哈密顿量优化任务。
• 采用一级量子Lasserre SDP层级来表示优化问题，提供对量子态空间的松弛。
• 应用一种新颖的舍入过程：将相互作用图中每条边关联的SDP解向量，通过三角函数映射到相应的量子线路参数。
• 确保舍入过程相对于参数数量为多项式时间，无论图结构如何。
• 基于线路参数和图连通性，推导出哈密顿量中每条边的期望能量贡献的解析表达式。
• 利用泡利矩阵的对易关系和态的迹计算，计算参数化量子态下哈密顿量的期望值。

实验结果

研究问题

• RQ1 SDP松弛与舍入能否被适配以优化一般参数化量子线路在量子优化问题中的参数？
• RQ2 能否在不施加相互作用图或参数对称性限制的情况下，为通用量子最大割问题实现一个可证明良好的近似比率？
• RQ3 所提出的基于SDP的舍入框架是否在近似比率上优于现有量子最大割近似算法？
• RQ4 使用这种新型SDP舍入框架，量子最大割问题的可实现近似比率是多少？
• RQ5 该方法在相互作用图中参数数量和图连通性增加时，其可扩展性如何？

主要发现

• 所提出的算法在通用量子最大割问题上实现了0.562-近似比率，优于此前已知的最佳比率小于0.54。
• 舍入算法相对于参数数量为多项式时间，因此无论底层相互作用图结构如何，均具有可扩展性。
• 该方法无需对参数施加对称性假设（例如每层参数相等），从而能够实现对完整参数空间的探索。
• 该框架将Goemans-Williamson方法推广至量子优化，将SDP舍入应用于量子线路参数。
• 能量期望值的解析推导表明，各边的贡献取决于参数的三角函数及其局部图邻域。
• 该结果适用于任意加权图，证明了其在规则图或有界度数实例之外的广泛适用性。