[论文解读] Optimizing Quantum Circuits for Arithmetic

Thomas Häner, Martin Roetteler+1 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 35

一句话总结

本文提出针对基本算术函数（如 arcsin(x)、1/√x、高斯函数和三角函数）的优化、可逆量子电路，采用分段多项式逼近与经典高性能计算（HPC）洞察相结合的方法。通过并行化霍纳法则及对平方根倒数的优化牛顿-拉夫森迭代，作者显著降低了Toffoli门数量与量子比特使用量，从而实现对HHL等量子算法及量子拒绝采样等算法更精确的代价分析。

ABSTRACT

Many quantum algorithms make use of oracles which evaluate classical functions on a superposition of inputs. In order to facilitate implementation, testing, and resource estimation of such algorithms, we present quantum circuits for evaluating functions that are often encountered in the quantum algorithm literature. This includes Gaussians, hyperbolic tangent, sine/cosine, inverse square root, arcsine, and exponentials. We use insights from classical high-performance computing in order to optimize our circuits and implement a quantum software stack module which allows to automatically generate circuits for evaluating piecewise smooth functions in the computational basis. Our circuits enable more detailed cost analyses of various quantum algorithms, allowing to identify concrete applications of future quantum computing devices. Furthermore, our resource estimates may guide future research aiming to reduce the costs or even the need for arithmetic in the computational basis altogether.

研究动机与目标

• 解决量子算术函数缺乏详细资源估算的问题，此类问题直接影响经典与量子算法之间的交叉点。
• 降低因1/√x、arcsin(x)和高斯函数等函数实现效率低下所导致的高常数开销。
• 通过提供可重用的可逆量子电路，实现对HHL、量子梅特罗波利斯采样及量子机器学习等量子算法的精确代价分析。
• 利用经典高性能计算的洞察，最小化在计算基下评估光滑及分段光滑函数的资源成本（Toffoli门与量子比特）。

提出的方法

• 采用并行化霍纳法则，对光滑函数实施分段多项式逼近，实现多个多项式的并行且条件性求值。
• 借鉴《雷奇III号》中的快速平方根倒数算法，通过调优初始猜测值，使牛顿迭代次数减少20–25%，从而最小化Toffoli门数量。
• 使用可逆算术电路（如原地常数加法器与受控交换门）实现底层操作，确保在Toffoli门层级上完全可逆。
• 在定义域的子区间上应用极小化最大误差（minimax）多项式逼近，以低阶多项式实现高精度，降低门数。
• 将平方根、平方根倒数及多项式求值子程序集成至模块化量子软件栈中，兼容LiQUi|⟩与Q#等语言。
• 通过Toffoli电路模拟器进行可逆仿真验证，测试规模达数百量子比特。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在可逆量子环境中高效实现分段多项式逼近，以最小化Toffoli门与量子比特成本？
• RQ2 在量子领域中，牛顿-拉夫森迭代求平方根倒数的最优初始猜测策略为何？该策略如何减少迭代次数？
• RQ3 经典高性能计算技术（如Cephes库或《雷奇III号》中的快速平方根倒数算法）在多大程度上可被适配至量子算术运算？
• RQ4 在可逆量子电路中实现关键函数（如arcsin(x)、1/√x和高斯函数）的精确资源成本（Toffoli门与量子比特）是多少？
• RQ5 多项式阶数与子区间划分的选择如何影响量子函数评估的精度与资源成本？

主要发现

• 通过优化初始猜测，使平方根倒数的牛顿迭代次数减少20–25%，直接降低Toffoli门数量。
• arcsin(x)的实现仅需对x ∈ [−0.5, 0.5] 调用一次sin(x)，总Toffoli门数量按O(dn²)规模增长，其中d为多项式阶数。
• 在[−0.5, 0.5]区间实现10⁻⁵精度时，arcsin(x)需8,370个Toffoli门与232个量子比特（使用6个子区间），而sin(x)在10⁻⁵误差下需10,661个Toffoli门与每系数2个量子比特。
• 可逆快速平方根倒数算法在3–5轮牛顿迭代内稳定收敛，对n = 50比特与p = 5小数位，L∞误差低于10⁻⁵。
• 分段多项式求值方案通过划分定义域，减少了对高阶多项式的需求，使高精度得以通过低阶逼近实现。
• 资源估算表明，arcsin(x)的评估成本主要由平方根倒数与多项式求值子程序主导，后者对Toffoli门数量贡献显著。