[论文解读] Optimizing quantum optimization algorithms via faster quantum gradient computation

András Gilyén, Srinivasan Arunachalam+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 34

一句话总结

本文提出了一种量子算法，与Jordan的算法相比，该算法在计算平滑多元函数梯度时，实现了准确度依赖关系的二次改进，从而实现了更快的量子优化。该算法通过高效的叠加态评估和预言机转换实现，为变分量子算法（如VQE、QAOA和量子自编码器）提供了二次甚至指数级加速。

ABSTRACT

We consider a generic framework of optimization algorithms based on gradient descent. We develop a quantum algorithm that computes the gradient of a multi-variate real-valued function f : Rd → R by evaluating it at only a logarithmic number of times in superposition. Our algorithm is an improved version of Jordan's gradient computation algorithm [28], providing an approximation of the gradient ▽f with quadratically better dependence on the evaluation accuracy of f, for an important class of smooth functions. Furthermore, we show that objective functions arising from variational quantum circuits usually satisfy the necessary smoothness conditions, hence our algorithm provides a quadratic improvement in the complexity of computing their gradient. We also show that in a continuous phase-query model, our gradient computation algorithm has optimal query complexity up to poly-logarithmic factors, for a particular class of smooth functions. Moreover, we show that for low-degree multivariate polynomials our algorithm can provide exponential speedups compared to Jordan's algorithm in terms of the dimension d.One of the technical challenges in applying our gradient computation procedure for quantum optimization problems is the need to convert between a probability oracle (which is common in quantum optimization procedures) and a phase oracle (which is common in quantum algorithms) of the objective function f. We provide efficient subroutines to perform this delicate interconversion between the two types of oracles incurring only a logarithmic overhead, which might be of independent interest. Finally, using these tools we improve the runtime of prior approaches for training quantum auto-encoders, variational quantum eigensolvers (VQE), and quantum approximate optimization algorithms (QAOA).

研究动机与目标

• 开发一种量子算法，以相比先前方法改进准确度的缩放方式计算平滑函数的梯度。
• 通过减少变分量子线路中梯度计算的查询复杂度，实现更快的量子优化。
• 弥合量子优化中概率预言机与相位预言机之间的差距，实现与现有量子算法的无缝集成。
• 证明变分量子算法中的目标函数通常满足改进梯度方法所需的平滑性条件。
• 在连续相位查询模型中，实现梯度计算的最优查询复杂度，最多仅存在对数多项式因子的差异。

提出的方法

• 该算法在叠加态中对目标函数 f 在对数量级的点上进行评估，从而实现高效的梯度估计。
• 与Jordan的算法相比，该方法通过实现对平滑函数 f 的评估准确度的二次改进，实现了更优的性能。
• 该方法依赖于一种新颖的量子过程，利用幅度放大和相位估计算法来近似梯度 ▽f。
• 它引入了高效的子程序，以仅对数阶的开销在概率预言机与相位预言机之间进行转换。
• 该算法在连续相位查询模型中，对于一类平滑函数，其查询复杂度被证明是接近最优的，最多仅存在对数多项式因子的差异。
• 对于低次多元多项式，该算法在维度 d 方面相对于Jordan方法实现了指数级加速。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过减少对函数评估准确度的依赖，使量子梯度计算更加高效？
• RQ2 变分量子线路中的目标函数是否满足改进梯度算法所需的平滑性条件？
• RQ3 在连续相位查询模型中，平滑函数的量子梯度计算的最优查询复杂度是多少？
• RQ4 在量子优化工作流中，如何高效地在概率预言机与相位预言机之间进行转换？
• RQ5 改进的梯度算法是否能在特定类别的优化问题中实现指数级加速？

主要发现

• 所提出的量子梯度算法在平滑函数上，与Jordan的算法相比，对 f 的评估准确度实现了二次改进的依赖关系。
• 该算法在变分量子线路（包括VQE、QAOA和量子自编码器）中，实现了梯度计算复杂度的二次加速。
• 对于低次多元多项式，该算法在维度 d 方面相对于Jordan方法实现了指数级加速。
• 在连续相位查询模型中，该算法的查询复杂度对于特定类平滑函数是接近最优的，最多仅存在对数多项式因子的差异。
• 预言机转换子程序仅引入对数阶的开销，因此高效且适合集成到现有的量子优化工作流中。
• 该方法通过加速梯度计算，实现了量子自编码器、VQE 和 QAOA 训练时间的改进。