[论文解读] Option Pricing in a Dynamic Variance-Gamma Model

Lorenzo Mercuri, Fabio Bellini|arXiv (Cornell University)|May 28, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文提出了一种动态方差伽马（DVG）模型用于期权定价，其中对数收益服从由GARCH型随机波动率过程驱动的时变方差伽马分布。通过条件Esscher变换实现测度变换以获得风险中性测度，该模型可通过递归计算特征函数实现半解析定价，其校准性能和历史似然估计优于Heston-Nandi和IG-based模型。

ABSTRACT

We present a discrete time stochastic volatility model in which the conditional distribution of the logreturns is a Variance-Gamma, that is a normal variance-mean mixture with Gamma mixing density. We assume that the Gamma mixing density is time varying and follows an affine Garch model, trying to capture persistence of volatility shocks and also higher order conditional dynamics in a parsimonious way. We select an equivalent martingale measure by means of the conditional Esscher transform as in Buhlmann et al. (1996) and show that this change of measure leads to a similar dynamics of the mixing distribution. The model admits a recursive procedure for the computation of the characteristic function of the terminal logprice, thus allowing semianalytical pricing as in Heston and Nandi (2000). From an empirical point of view, we check the ability of this model to calibrate SPX option data and we compare it with the Heston and Nandi (2000) model and with the Christoffersen, Heston and Jacobs (2006) model, that is based on Inverse Gaussian innovations. Moreover, we provide a detailed comparison with several variants of the Heston and Nandi model that shows the superiority of the Variance-Gamma innovations also from the point of view of historical MLE estimation.

研究动机与目标

• 开发一种动态随机波动率模型，通过时变方差伽马分布捕捉波动率聚集和高阶收益动态特征。
• 应用条件Esscher变换推导等价鞅测度，确保混合分布的结构在风险中性测度下得以保持。
• 通过递归计算终端对数价格的特征函数，实现高效的半解析期权定价。
• 基于S&P 500期权数据，实证评估该模型在拟合现有模型（如Heston-Nandi和Christoffersen等，2006）方面的表现。
• 通过期权隐含和历史最大似然估计方法，将DVG模型与多个Heston-Nandi模型变体进行比较。

提出的方法

• 将对数收益的条件分布建模为方差伽马分布，即正态方差-均值混合分布，其混合密度为时变伽马分布。
• 假设伽马混合密度服从仿射GARCH过程，以捕捉波动率持久性和动态条件矩。
• 应用条件Esscher变换，实现从物理测度到风险中性测度的变换，确保变换后混合分布保持相似的动态结构。
• 推导终端对数价格特征函数的递归算法，通过特征函数反演实现半解析定价。
• 利用特征函数通过数值积分计算期权价格，借助傅里叶变换定价框架。
• 将模型校准至S&P 500期权数据，并通过隐含波动率和历史似然估计方法与Heston-Nandi和IG-based模型进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有GARCH驱动波动率的动态方差伽马模型是否能有效捕捉金融收益的典型特征，包括波动率聚集和厚尾？
• RQ2 条件Esscher变换是否在风险中性测度下保持混合分布的结构形式，从而实现可处理的定价？
• RQ3 在拟合S&P 500期权数据时，DVG模型在校准精度上是否优于Heston-Nandi和Christoffersen等（2006）模型？
• RQ4 在历史最大似然估计方面，方差伽马创新结构是否优于逆高斯创新结构？
• RQ5 在动态方差伽马框架下，特征函数的递归计算是否能实现高效且精确的期权定价？

主要发现

• 动态方差伽马模型通过时变伽马混合分布成功捕捉了波动率持久性和高阶条件动态特征。
• 条件Esscher变换生成的风险中性动态保持了混合分布的仿射结构，从而实现了分析上的可处理性。
• 该模型可通过递归计算特征函数实现半解析期权定价，便于高效数值实现。
• 基于S&P 500期权的实证校准显示，DVG模型在拟合隐含波动率曲面方面优于Heston-Nandi和Christoffersen等（2006）模型。
• 与多个Heston-Nandi模型变体相比，方差伽马创新结构在历史最大似然估计方面表现更优。
• DVG模型在期权隐含和历史估计框架下均表现出稳健性和准确性，证实了其经验相关性。