[论文解读] Option Pricing in a Regime Switching Jump Diffusion Model

Anindya Goswami, Omkar Manjarekar+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 23被引用 3

一句话总结

本文提出了一种用于欧式期权定价的 regime-switching jump diffusion 模型，其中市场状态遵循具有持续时间依赖转移的半马氏过程，且资产价格经历跳跃。通过 Föllmer-Schweizer 分解，证明了退化、非局部、线性抛物型积分-偏微分方程存在唯一经典解，从而在同时存在状态转移与跳跃的不完全市场中实现最优对冲。

ABSTRACT

This paper presents the solution to a European option pricing problem by considering a regime-switching jump diffusion model of the underlying financial asset price dynamics. The regimes are assumed to be the results of an observed pure jump process, driving the values of interest rate and volatility coefficient. The pure jump process is assumed to be a semi-Markov process on finite state space. This consideration helps to incorporate a specific type of memory influence in the asset price. Under this model assumption, the locally risk minimizing price of the European type path-independent options is found. The Föllmer-Schweizer decomposition is adopted to show that the option price satisfies an evolution problem, as a function of time, stock price, market regime, and the stagnancy period. To be more precise, the evolution problem involves a linear, parabolic, degenerate and non-local system of integro-partial differential equations. We have established existence and uniqueness of classical solution to the evolution problem in an appropriate class.

研究动机与目标

• 解决现有模型未能同时捕捉资产价格动态中跳跃间断与持续时间依赖状态切换的缺陷。
• 在由半马氏过程驱动的 regime-switching jump diffusion 模型中，建立无套利条件。
• 推导该模型下欧式路径无关期权的局部风险最小化价格。
• 证明由非局部、退化、抛物型积分-偏微分方程系统构成的演化问题存在唯一经典解。
• 通过时间、股票价格、市场状态与停滞期的表征，实现最优对冲策略。

提出的方法

• 使用由有限状态半马氏过程（具有通用停留时间分布）控制的 regime-switching jump diffusion 过程对资产价格动态进行建模。
• 假设跳跃大小分布有界，并满足 η(z) > -1，以确保价格过程的正性和可积性。
• 应用 Föllmer-Schweizer 分解推导局部风险最小化价格，从而导出一个关于时间、股票价格、状态与停滞期的积分-偏微分方程（IPDE）系统。
• 通过系数的有界性与连续性假设，在适当的函数空间中证明 IPDE 系统经典解的存在性与唯一性。
• 通过分析跳跃分量的矩生成函数并利用 Lévy 测度的有限性，建立资产价格过程的平方可积性。
• 利用系数函数在时间上的连续性与一致有界性，证明相关线性算子在有界线性映射空间中的连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 由半马氏过程驱动的 regime-switching jump diffusion 模型是否在跳跃分布满足适当条件时允许无套利定价？
• RQ2 在不完全市场中，同时包含持续时间依赖的状态切换与跳跃间断如何影响期权定价的 PDE？
• RQ3 Föllmer-Schweizer 分解是否可应用于该混合模型设定以推导局部风险最小化价格？
• RQ4 所得到的非局部、退化、抛物型 IPDE 系统解的正则性与存在性特征为何？
• RQ5 在何种条件下可确保该模型下资产价格过程的平方可积性？

主要发现

• 当跳跃大小分布满足 η(z) > -1 且具有有限二阶矩时，模型可确保无套利，该结论通过 SDE 解的正性与可积性得到验证。
• 欧式期权的局部风险最小化价格满足一个涉及时间、股票价格、状态与停滞期的退化、非局部、线性抛物型积分-偏微分方程系统。
• 在合适的函数空间中，演化问题的经典解存在且唯一，确保了定价问题的数学适定性。
• 证明了解在有限时间范围内是平方可积的，这对 Föllmer-Schweizer 分解与最优对冲的有效性至关重要。
• 最优对冲策略由 Föllmer-Schweizer 分解导出，通过连续交易最小化二次剩余风险。
• 系数函数在时间上的连续性及其有界性确保了相关线性算子在有界线性映射空间中的连续性，从而支持了解的正则性。