[论文解读] Option Pricing without Price Dynamics: A Probabilistic Approach

Dimitris Bertsimas, Natasha Bushueva|ArXiv.org|Dec 3, 2006

Stochastic processes and financial applications参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文提出一种概率性、无套利的方法，仅利用多个到期日和行权价下的观测看涨期权价格，计算具有连续分段线性收益的欧式期权价格的紧致上下界。该方法将问题形式化为线性优化任务，从而实现精确和渐近精确的算法，无需假设标的资产价格动态或波动率恒定。

ABSTRACT

Employing probabilistic techniques we compute best possible upper and lower bounds on the price of an option on one or two assets with continuous piecewise linear payoff function based on prices of simple call options of possibly distinct maturities and the no-arbitrage condition, but without any assumption on the price dynamics of underlying assets. We show that the problem reduces to solving linear optimization problems that we explicitly characterize. We report numerical results that illustrate the effectiveness of the algorithms we develop.

研究动机与目标

• 在给定多个到期日和行权价下观测到的看涨期权价格的前提下，确定具有连续分段线性收益的欧式期权价格的最紧致上下界。
• 建立观测到的期权价格在不同到期日之间保持一致的必要与充分条件，符合无套利原则。
• 通过刻画在矩和期权价格约束下资产价格的联合分布，将该框架扩展至多资产期权，特别是组合期权。
• 开发计算高效的算法——包括精确和渐近精确的算法——以解决高维设置下的优化问题。
• 将现有单资产期权的边界结果推广至多资产和多到期日情形，在最小假设下保持最优性。

提出的方法

• 通过刻画与观测到的看涨期权价格一致的可行鞅测度集合，将期权定价问题形式化为线性规划问题。
• 利用几何和概率论论证，将问题简化为在由收益超平面构成的多面体图的顶点上进行原子概率分布的优化。
• 应用变量变换和参数化技术，将原始的非线性约束转化为线性形式，从而可通过线性优化高效求解。
• 提出两种算法：一种为精确但可能具有指数规模，另一种为渐近精确且具有多项式规模的公式，适用于实际实现。
• 通过在联合价格空间上定义图结构，将框架扩展至双资产期权，确保时间与区域之间的鞅一致性。
• 对基础资产价格施加有界支撑，以确保顶点集的有限性，从而实现对基础分布的离散逼近。

实验结果

研究问题

• RQ1 在给定多个到期日和行权价下观测到的看涨期权价格的前提下，具有连续分段线性收益的欧式期权价格的最紧致上下界是什么？
• RQ2 不同到期日的观测期权价格需满足何种条件，才能与无套利市场保持一致？
• RQ3 如何在不假设标的资产特定价格动态的前提下，将定价问题重新表述为线性优化问题？
• RQ4 当收益函数为分段线性时，多资产期权的边界能否被精确计算或高效近似？
• RQ5 该解决方案在多资产和不同到期日的组合期权中，可在多大程度上实现泛化？

主要发现

• 计算紧致期权价格边界的問題可简化为求解线性优化問題，最优解由支持在多面体图顶点上的离散概率分布实现。
• 对于具有多个到期日的单资产期权，无套利的必要与充分条件源于在时间点之间存在一致的鞅测度。
• 精确算法涉及可能具有指数规模的线性规划，而渐近精确算法采用多项式规模的公式，可任意精确地逼近解。
• 在双资产情形下，该方法通过在收益超平面形成的图的顶点上分配原子分布，构建满足所有约束的鞅，确保时间与区域之间的一致性。
• 该框架推广并精确求解了 D’Aspremont 和 El Ghaoui（2004）提出的关于组合期权边界的問題，在其松弛解为近似解时提供了精确解。
• 即使收益函数非凸，该方法依然有效，通过扩展状态空间并统一处理未来与过去约束，尽管在二维情况下失去线性形式，除非使用近似。