[论文解读] Oracularization and Two-Prover One-Round Interactive Proofs against Nonlocal Strategies

Tsuyoshi Ito, Hirotada Kobayashi+1 more|ArXiv.org|Oct 3, 2008

Cryptography and Data Security参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文提出了两种新颖的双证明者一回合交互式证明系统构造方法，通过引入虚拟问题的预言机化技术，使这些系统在面对纠缠或无信道证明者时仍保持 soundness。证明表明，PSPACE 和 NEXP 均存在具有完美完备性和指数级小 soundness 误差的系统，即使在量子作弊情形下依然成立，从而确立了在存在纠缠的情况下，多证明者系统相较于单证明者系统仍具有优势。

ABSTRACT

A central problem in quantum computational complexity is how to prevent entanglement-assisted cheating in multi-prover interactive proof systems. It is well-known that the standard oracularization technique completely fails in some proof systems under the existence of prior entanglement. This paper studies two constructions of two-prover one-round interactive proof systems based on oracularization. First, it is proved that the two-prover one-round interactive proof system for PSPACE by Cai, Condon, and Lipton still achieves exponentially small soundness error in the existence of prior entanglement between dishonest provers (and more strongly, even if dishonest provers are allowed to use arbitrary no-signaling strategies). It follows that, unless the polynomial-time hierarchy collapses to the second level, two-prover systems are still advantageous to single-prover systems even when only malicious provers can use quantum information. Second, it is proved that the two-prover one-round interactive proof system obtained by oracularizing a three-query probabilistically checkable proof system becomes sound in a weak sense even against dishonest entangled provers with the help of a dummy question. As a consequence, every language in NEXP has a two-prover one-round interactive proof system of perfect completeness, albeit with exponentially small gap between completeness and soundness, in which each prover responds with only two bits. In other words, it is NP-hard to approximate within an inverse-polynomial the value of a classical two-prover one-round game, even when provers are entangled and each sends a two-bit answer to a verifier.

研究动机与目标

• 解决在证明者共享先验纠缠或使用无信道策略时，维持双证明者一回合交互式证明系统 soundness 的挑战。
• 克服在存在纠缠时标准预言机化技术失效的问题，特别是在 PSPACE 的系统中。
• 构造一个针对 NEXP 的双证明者一回合证明系统，即使证明者纠缠，也能实现完美完备性和指数级小的 soundness 误差。
• 证明在量子环境下，双证明者系统相较于单证明者系统仍更具优势，前提是多项式层次不会坍缩。

提出的方法

• 通过引入虚拟问题来适应预言机化，以稳定证明者的行为，防止通过纠缠进行欺骗。
• 以非自适应三查询 PCP 系统为基础，使用布尔字母表，使最终游戏中的答案长度缩短为两位。
• 应用迹距离和概率迹不等式，以限制不同测量序列下量子态之间的偏差。
• 通过一系列迹距离边界控制连续测量中的误差累积，利用单调性和三角不等式。
• 对问题顺序进行概率分析，按边际概率加权，以限制期望误差项。
• 使用柯西-施瓦茨不等式及其他不等式，对涉及 d1、d4 和 d3 函数的误差项求和进行上界估计，最终得到以 εcons 表示的误差界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使预言机化在双证明者一回合证明系统中对纠缠证明者具有鲁棒性？
• RQ2 Cai、Condon 和 Lipton 提出的 PSPACE 双证明者一回合系统在存在先验纠缠或无信道策略时是否仍保持 soundness？
• RQ3 能否构造一个针对 NEXP 的双证明者一回合证明系统，即使证明者纠缠，也能实现完美完备性和指数级小的 soundness 误差？
• RQ4 此类系统中是否存在答案长度与误差鲁棒性之间的权衡？能否通过引入虚拟问题进行优化？
• RQ5 在存在量子作弊的情况下，具有两位答案的双证明者一回合游戏中，完备性与 soundness 之间的最小差距是多少？

主要发现

• Cai、Condon 和 Lipton 提出的 PSPACE 双证明者一回合系统，在证明者共享先验纠缠或使用任意无信道策略时，仍保持指数级小的 soundness 误差。
• 每个 NEXP 中的语言都存在一个双证明者一回合交互式证明系统，即使在纠缠证明者下，也能实现完美完备性和指数级小的 soundness 误差，前提是使用虚拟问题的预言机化。
• 最终的游戏每名证明者仅需回答两位，完备性与 soundness 之间的差距为指数级倒数，使得在逆多项式因子内近似该差距为 NP 难问题。
• soundness 误差被限制在常数因子乘以 (1 − w(G))² / Q² 之内，其中 Q 为问题数量，表明该系统对量子作弊具有鲁棒性。
• 该方法可推广至非自适应 t 查询 PCP 系统，误差界随 t 适当缩放，表明其具有广泛适用性。
• 该构造表明，在存在量子纠缠的情况下，双证明者系统相较于单证明者系统仍严格更强大，除非多项式层次坍缩至第二层。