[论文解读] Orbifold Riemann Surfaces and the Yang-Mills-Higgs Equations

Ben Nasatyr, Brian Steer|ArXiv.org|Apr 26, 1995

Geometry and complex manifolds参考文献 19被引用 49

一句话总结

本文将Hitchin关于Yang-Mills-Higgs方程的工作推广至轨道丛黎曼曲面，建立了相关解的存在性定理，通过分析方法构造了模空间，并证明其为双Kähler流形。一个关键结果是：对于亏格为负的轨道丛黎曼曲面，其Teichmüller空间同胚于一个球面，推广了关于具有锥形奇点和常曲率度量的经典结果。

ABSTRACT

We extend Hitchin's results on "The self-duality equations on a Riemann surface" (Proc. LMS (3), vol. 55, 1987) to orbifold Riemann surfaces. We prove existence results for orbifold solutions of the Yang-Mills-Higgs equations and construct the moduli space of solutions. These moduli spaces provide interesting examples of non-compact hyper-Kahler manifolds in all dimensions divisible by 4 and of completely integrable Hamiltonian systems. We also reinterpret these moduli spaces as spaces of orbifold Higgs bundles and as representation varieties of Fuchsian groups.

研究动机与目标

• 将Hitchin关于Yang-Mills-Higgs方程在光滑黎曼曲面上的结果推广至轨道丛黎曼曲面。
• 在轨道丛丛上建立$U(2)$ Yang-Mills-Higgs方程解的存在性定理。
• 通过分析方法构造解的模空间$\mathcal{M}$，并研究其拓扑结构、双Kähler结构及全纯辛性质。
• 将模空间重新解释为轨道丛基本群的$SL_2(\mathbb{C})$-表示空间，并与Teichmüller理论建立联系。
• 证明Fuchsian群或带标记的轨道丛黎曼曲面的Teichmüller空间同胚于一个球面，推广了关于常曲率度量与锥形奇点的经典结果。

提出的方法

• 在具有负欧拉示性数的轨道丛黎曼曲面上，对秩2全纯$V$-丛上的$U(2)$ Yang-Mills-Higgs方程进行公式化。
• 使用分析方法，包括连续性法与椭圆正则性，证明在稳定Higgs $V$-丛上解的存在性。
• 通过Yang-Mills-Higgs流构造解的模空间$\mathcal{M}$，并证明其继承自底层几何的双Kähler结构。
• 通过行列式映射$\det: \mathcal{M} \to H^0(K^2)$建立$\mathcal{M}$上的全息辛结构，表明$\mathcal{M}$是稳定$V$-丛模空间余切丛的纤维紧化。
• 将$\mathcal{M}$重新解释为轨道丛基本群的中心扩张的项目平坦$SL_2(\mathbb{C})$-联络与$SL_2(\mathbb{C})$-表示空间。
• 应用等变与拉回技巧，研究分支覆盖下模空间的关系，并利用调和映射理论证明解的唯一性及同胚于球面。

实验结果

研究问题

• RQ1 Yang-Mills-Higgs方程在轨道丛黎曼曲面上的行为如何？在具有锥形奇点的$U(2)$丛上，解在何种条件下存在？
• RQ2 解的模空间$\mathcal{M}$的拓扑与几何结构为何？与光滑情形有何不同？
• RQ3 模空间$\mathcal{M}$能否被识别为轨道丛基本群的$SL_2(\mathbb{C})$-表示空间？这对Teichmüller理论有何含义？
• RQ4 轨道丛黎曼曲面的Teichmüller空间是否同胚于一个球面？这与存在具有锥形奇点的常曲率度量有何关系？
• RQ5 模空间$\mathcal{M}$上的全息辛结构如何由行列式映射产生？其与稳定$V$-丛模空间余切丛的关系为何？

主要发现

• 在轨道丛黎曼曲面上，Yang-Mills-Higgs方程解的模空间$\mathcal{M}$是一个非紧致的双Kähler流形，其维数被4整除。
• 对于亏格为负的轨道丛黎曼曲面$M$，其Teichmüller空间$\mathcal{T}(M)$同胚于$\mathbb{C}^{3g-3+n}$，因此同胚于一个球面。
• 模空间$\mathcal{M}$具有全息辛结构，且是稳定$V$-丛模空间余切丛的纤维紧化。
• 在稳定Higgs $V$-丛上，Yang-Mills-Higgs方程的解存在，模空间通过包括连续性法在内的分析方法构造。
• $\mathcal{M}$被识别为轨道丛基本群的中心扩张的$SL_2(\mathbb{C})$-表示空间，推广了Hitchin的对应关系。
• 在满足条件$2-2g-n+\sum 1/\alpha_i < 0$下，证明了在带标记黎曼曲面上存在具有锥形奇点且截面曲率为$-4$的度量，其在阶为$\alpha_i$的标记点处的锥角为$2\pi/\alpha_i$。