[论文解读] Orbifold slope-rational connectedness

Frédéric Campana|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 28被引用 11

一句话总结

本文在特征零下引入了光滑射影轨道丛对 $(X,D)$ 的轨道丛斜率有理连通性与斜率有理商，利用可移动类与哈勒-纳拉辛汉滤子，推广了经典的有理连通性与有理商纤维化理论。关键贡献是通过最小斜率的正性，无条件地构造了轨道丛有理商，避免了对轨道丛有理曲线连接族存在的依赖。

ABSTRACT

We define, for smooth projective orbifold pairs $(X,D)$ notions of `slope Rational connectedness', and of orbifold `slope Rational quotient' . These notions extend to this larger context the classical notions of rationally connected manifold and `rational quotient' (sometimes called `MRC fibration'). Our notions and proofs work entirely in characteristic zero, and are based on the consideration of foliations with minimal positive slope with respect to some suitable movable class. The existence of covering or connecting families of `orbifold rational curves' is indeed presently unknown in the orbifold context, in situations analogous to the classical case $D=0$. By contrast, the notions we introduce here, are checkable in practice and can certainly be used to show general properties expected from the existence of connecting families of `orbifold rational curves'. The proofs given here in the orbifold context provide new proofs in the classical case where $D=0$, since the classical proofs did not seem to adapt, with the presently existing techniques, to this broader context.

研究动机与目标

• 将经典有理连通性与有理商纤维化的概念推广至光滑射影轨道丛对 $(X,D)$，其中连接轨道丛有理曲线族的存在性尚不明确。
• 通过可移动类下最小斜率的正性，定义并刻画轨道丛斜率有理连通性，避免依赖于有理曲线。
• 通过斜率准则无条件地构造轨道丛有理商映射，克服现有技术在轨道丛设定下无法适用的局限性。
• 在 $D=0$ 的情形下，使用更具鲁棒性的轨道丛方法，为经典结果提供新证明。
• 建立轨道丛余切丛的数值维数与轨道丛有理商结构之间的联系，特别是与核心映射分解的关系。

提出的方法

• 通过 Kawamata 覆盖 $\pi: X' \to (X,D)$ 定义轨道丛切丛与余切丛，将经典层提升为挠自由轨道丛丛。
• 利用 $X$ 上的可移动类 $\alpha$ 定义斜率 $\mu_{\alpha}$、(半)稳定性以及轨道丛丛的哈勒-纳拉辛汉滤子。
• 引入最小斜率正性 $\mu_{\alpha,\text{min}}(\mathcal{E}) > 0$ 作为轨道丛斜率有理连通性的判别准则。
• 建立等价关系：任一规整模型的轨道丛基上 $K_Z + D_Z$ 的非伪有效性的充要条件，是当 $m$ 充分大时，全局截面 $h^0(X', \otimes^m \Omega^1(X,D) \otimes A) = 0$。
• 通过最小斜率正性条件无条件地构造轨道丛斜率有理商 $\rho: (X,D) \dasharrow (R,D_R)$。
• 将新构造与 $\kappa$-有理商及核心映射分解联系起来，证明在 $C_{n,m}^{\text{orb}}$ 猜测成立时，新商与经典商一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不假设轨道丛有理曲线连接族存在的前提下，经典有理连通性概念能否推广至轨道丛对 $(X,D)$？
• RQ2 是否存在一种轨道丛斜率有理连通性的刻画方式，避免显式构造有理曲线，而仅依赖上同调与斜率准则？
• RQ3 能否在特征零下，通过轨道丛余切丛的斜率正性，无条件地构造轨道丛有理商映射？
• RQ4 新构造的斜率有理商与轨道丛设定下既有的核心映射分解及 $\kappa$-有理商有何关系？
• RQ5 数值维数 $\nu^+(X,D)$ 与 $(X,D)$ 的双有理结构之间存在何种关系，特别是与基本群及 $K_X + D$ 的伪有效性之间的关系？

主要发现

• 定理 1.1 建立了三个条件的等价性：任一规整模型的轨道丛基上 $K_Z + D_Z$ 的非伪有效性、当 $m$ 充分大时 $h^0(X', \otimes^m \Omega^1(X,D) \otimes A) = 0$，以及存在可移动类 $\alpha$ 使得对轨道丛切丛的所有商丛均有 $\mu_{\alpha,\text{min}}(\mathcal{E}) > 0$。
• 轨道丛斜率有理商映射 $\rho: (X,D) \dasharrow (R,D_R)$ 通过斜率正性无条件构造，提供了一个推广经典有理商的双有理不变量。
• 该构造为 $D=0$ 情形下的经典结果提供了新证明，而现有基于有理曲线的技术在轨道丛设定下无法适用。
• 本文证明了 $\nu^+(X,D) = -\infty$ 当且仅当 $(X,D)$ 是斜率有理连通的，且该条件等价于当 $m$ 充分大时 $h^0(X', \otimes^m \Omega^1(X,D) \otimes A) = 0$。
• 轨道丛斜率有理商在猜想下与 [10] 中的 $\kappa$-有理商 $r$ 一致，且新构造消除了定义商时对 $C_{n,m}^{\text{orb}}$ 猜测的依赖。
• 斜率有理连通轨道丛对的基本群 $\pi_1(X,D)$ 几乎是阿贝尔的，若该对为纯对数型或满足 $h^0(X, \Omega^1(X,\log D_1)) = 0$，则基本群平凡，推广了 [10] 中的猜想。