[论文解读] Orbifolds of Reshetikhin-Turaev TQFTs

Nils Carqueville, Ingo Runkel+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 30被引用 23

一句话总结

本文利用模张量范畴和缺陷TQFT形式化，为Reshetikhin–Turaev拓扑量子场理论（TQFT）构造了三类广义轨道空间。证明了Turaev–Viro状态和模型等价于通过球面对称融合范畴实现的平凡Reshetikhin–Turaev理论的轨道空间，并将该框架扩展至G-提升扩展和交换Frobenius代数，证明了Morita不变性，且为Tambara–Yamagami范畴和k级量子群范畴提供了显式构造。

ABSTRACT

We construct three classes of generalised orbifolds of Reshetikhin-Turaev theory for a modular tensor category $\mathcal{C}$, using the language of defect TQFT from [arXiv:1705.06085]: (i) spherical fusion categories give orbifolds for the "trivial" defect TQFT associated to vect, (ii) $G$-crossed extensions of $\mathcal{C}$ give group orbifolds for any finite group $G$, and (iii) we construct orbifolds from commutative $Δ$-separable symmetric Frobenius algebras in $\mathcal{C}$. We also explain how the Turaev-Viro state sum construction fits into our framework by proving that it is isomorphic to the orbifold of case (i). Moreover, we treat the cases (ii) and (iii) in the more general setting of ribbon tensor categories. For case (ii) we show how Morita equivalence leads to isomorphic orbifolds, and we discuss Tambara-Yamagami categories as particular examples.

研究动机与目标

• 通过模张量范畴中的内部数据，将3维缺陷TQFT的轨道空间构造推广至Reshetikhin–Turaev理论。
• 在统一的轨道空间框架下，将状态和模型（Turaev–Viro）与群轨道空间联系起来。
• 将轨道空间构造从模张量范畴扩展至带辫的融合范畴，并探讨Morita等价不变性。
• 从交换∆-可分对称Frobenius代数和Tambara–Yamagami范畴出发，提供轨道空间数据的显式构造。
• 通过Morita类和局部模范畴，将轨道空间构造与已知TQFT（如k级仿射李代数的TQFT）联系起来。

提出的方法

• 在缺陷TQFT框架中，通过轨道空间数据A构造轨道空间，其中A由三角剖分 bordism 中的标记分支（缺陷）组成。
• 利用关键技术结果（命题3.3），将轨道空间条件在模张量范畴C内部重新表述。
• 对球面对称融合范畴S应用Turaev–Viro状态和构造，证明其作为平凡理论Ztriv通过AS的轨道空间而产生。
• 从C的G-提升扩展构造群轨道空间，证明Morita等价的扩展产生同构的轨道空间TQFT。
• 利用Tambara–Yamagami范畴的结构，在Z2-分次范畴中实现轨道空间数据，显式代数由二次型和群阶的平方根导出。
• 利用全纯的带辫函子，将轨道空间数据从子范畴（如vectZ2,χ）提升至更大的模张量范畴（如Ck）。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用模张量范畴C中的内部数据，构造Reshetikhin–Turaev TQFT的广义轨道空间？
• RQ2 Turaev–Viro状态和构造是否同构于平凡Reshetikhin–Turaev理论的轨道空间？
• RQ3 在G-提升扩展的轨道空间数据分类中，Morita等价起什么作用？
• RQ4 C中交换∆-可分对称Frobenius代数是否能产生有效的轨道空间数据，其对应的TQFT是什么？
• RQ5 来自子范畴（如vectZ2,χ）的轨道空间数据如何被提升至完整的模张量范畴（如k级Ck）？

主要发现

• 对任意球面对称融合范畴S，Turaev–Viro理论ZTV,S同构于平凡Reshetikhin–Turaev理论Ztriv的轨道空间，通过轨道空间数据AS实现。
• 对平凡理论的轨道空间构造将状态和模型实现为广义轨道空间，验证了3D中‘状态和模型是平凡理论的轨道空间’这一口号。
• 对任意带辫范畴C的G-提升扩展B，轨道空间数据Aτ存在，且在扩展的Morita等价下，轨道空间TQFT同构。
• 在Tambara–Yamagami范畴T YH,χ,τ中，轨道空间数据Aτ由代数1⊕AH构造，其中AH是H的正则代数，且轨道空间TQFT仅依赖于平方根τ的选择。
• 对与bsl(2)k在k级对应的模张量范畴Ck，当应用于交换∆-可分Frobenius代数AE6、AE8和AE7时，轨道空间构造产生与原始Reshetikhin–Turaev TQFT同构的TQFT。
• 当k=16时，代数AE7为非交换且非Azumaya，无法产生有效的轨道空间数据，表明当前框架存在局限性。