[论文解读] Orbit equivalence of one-sided subshifts and the associated C^*-algebras

Kengo Matsumoto|ArXiv.org|Sep 8, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 23被引用 5

一句话总结

该论文证明了由λ-图系统导出的两个单边子移位连续轨道等价当且仅当其关联C*-代数之间存在保持底层空间上连续函数的交换C*-子代数的同构。该等价关系也当且仅当存在一个将两个空间的拓扑全逆半群相互交织的同胚时成立，从而通过λ-图系统将早期关于拓扑马尔可夫移位的结果推广至更广泛的单边子移位类。

ABSTRACT

A $λ$-graph system ${\frak L}$ is a generalization of a finite labeled graph and presents a subshift. We will prove that the topological dynamical systems $(X_{{\frak L}_1},σ_{{\frak L}_1})$ and $(X_{{\frak L}_2},σ_{{\frak L}_2})$ for $λ$-graph systems ${\frak L}_1$ and ${\frak L}_2$ are continuously orbit equivalent if and only if there exists an isomorphism between the associated $C^*$-algebras ${\Cal O}_{{\frak L}_1}$ and ${\Cal O}_{{\frak L}_2}$ keeping their commutative $C^*$-subalgebras $C(X_{{\frak L}_1})$ and $C(X_{{\frak L}_2})$. It is also equivalent to the condition that there exists a homeomorphism from $X_{{\frak L}_1}$ to $X_{{\frak L}_2}$ intertwining their topological full inverse semigroups. In particular, one-sided subshifts $X_{Λ_1}$ and $X_{Λ_2}$ are $λ$-continuously orbit equivalent if and only if there exists an isomorphism between the associated $C^*$-algebras ${\Cal O}_{Λ_1}$ and ${\Cal O}_{Λ_2}$ keeping their commutative $C^*$-subalgebras $C(X_{Λ_1})$ and $C(X_{Λ_2})$.

研究动机与目标

• 通过λ-图系统将连续轨道等价理论从拓扑马尔可夫移位推广至一般单边子移位。
• 以保持其交换C*-子代数的关联C*-代数同构为条件，建立连续轨道等价的刻画。
• 证明连续轨道等价等价于存在一个将两个底层空间的拓扑全逆半群相互交织的同胚。
• 通过λ-图系统将关于Cuntz-Krieger代数和轨道等价的先前结果推广至一般子移位的设定。
• 为单边子移位提供一个统一框架，将拓扑动力系统、C*-代数与轨道等价联系起来。

提出的方法

• 利用λ-图系统作为有限标记图的推广，以表示单边子移位，从而实现关联C*-代数的构造。
• 将动力系统的拓扑全逆半群定义为将每个点映射到其轨道上另一点且具有连续轨道上循环的同胚集合。
• 证明连续轨道等价等价于存在一个将两个系统底层空间相互交织的拓扑全逆半群的同胚。
• 证明连续轨道等价蕴含存在保持空间上连续函数的交换C*-子代数的C*-代数同构。
• 利用C*-代数中包含的典型AF代数包含子移位空间上连续函数的交换C*-子代数这一事实。
• 应用C*-交叉积理论及保持对角子代数的同构理论，将Tomiyama的结果扩展至非同胚的连续满射。

实验结果

研究问题

• RQ1 何时两个单边子移位是连续轨道等价的？
• RQ2 连续轨道等价与保持交换C*-子代数的关联C*-代数同构之间的确切关系是什么？
• RQ3 在单边子移位的背景下，拓扑全逆半群如何与轨道等价相关联？
• RQ4 能否通过λ-图系统将拓扑马尔可夫移位的轨道等价理论推广至一般单边子移位？
• RQ5 何种条件可确保子移位空间之间的同胚诱导出保持交换子代数的C*-代数同构？

主要发现

• 两个单边子移位连续轨道等价当且仅当其关联C*-代数之间存在保持空间上连续函数的交换C*-子代数的同构。
• 连续轨道等价等价于存在一个将两个底层空间相互交织其拓扑全逆半群的同胚。
• 该结果将Tomiyama关于拓扑自由同胚的连续轨道等价定理推广至非同胚的连续满射情形。
• 对于由双侧子移位Λ₁和Λ₂导出的单边子移位，λ-连续轨道等价成立当且仅当𝒪_Λ₁与𝒪_Λ₂之间存在保持交换子代数C(X_Λ₁)和C(X_Λ₂)的C*-代数同构。
• C*-代数中的典型AF代数包含子移位空间上连续函数的交换C*-子代数，且该包含关系在同构下保持不变。
• 单边子移位之间的拓扑共轭蕴含λ-连续轨道等价，从而诱导出保持交换子代数的C*-代数同构。