[论文解读] Orbit reduction of exterior differential systems, and group-invariant variational problems

Vladimir Itskov|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2000

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 10被引用 8

一句话总结

本文提出了具有李群对称性的外微分系统（EDS）的轨道约化方法，证明了约化EDS的解与原始系统正则解的模空间之间存在一一对应关系。该研究建立了约化喷射空间的局部特征上同调与对称群的李代数上同调之间的同构关系，并提供了一种计算群不变欧拉-拉格朗日方程的计算算法，该算法由约化后的欧拉-拉格朗日算子与由维诺格拉多夫谱序列同态导出的附加微分算子复合而成。

ABSTRACT

For For a given PDE system, or an exterior differential system possessing a Lie group of internal symmetries the orbit reduction procedure is introduced. It is proved that the solutions of the reduced exterior differential system are in one-to-one correspondence with the moduli space of regular solutions of the prolongation of the original system. The isomorphism between the local characteristic cohomology of the reduced unconstrained jet space and the Lie algebra cohomology of the symmetry group is established. The group-invariant Euler-Lagrange equations of an invariant variational problem are described as a composition of the Euler-Lagrange operators on the reduced jet space and certain other differential operators on the reduced jet space. The practical algorithm of computing these operators is given.

研究动机与目标

• 开发一种针对在有限维李群作用下不变的外微分系统（EDS）的系统性轨道约化程序。
• 建立约化EDS的解与原始系统正则解模空间之间的一一对应关系。
• 识别约化喷射空间的局部特征上同调与对称群的李代数上同调之间的同构关系。
• 提供一种通用算法，通过轨道约化系统系统地计算群不变变分问题的不变欧拉-拉格朗日方程。
• 阐明欧拉-拉格朗日方程在轨道空间上的前推的几何与上同调意义。

提出的方法

• 轨道约化在原始EDS的r阶延拓的轨道空间上构造一个约化EDS，利用在喷射空间上诱导的G作用。
• 该方法依赖于存在一个G-不变的右移动标架，以拉回Maurer-Cartan形式，并在接触理想中构造一组过滤的不变1-形式。
• 利用水平微分和Vinogradov谱序列的边复形，计算微分不变量的系差关系，并定义约化结构。
• 关键技术工具是通过在过滤的不变形式基上应用莱布尼茨法则，构造微分算子 $\hat{T}_{I\alpha'}^{\alpha I'}$。
• 不变欧拉-拉格朗日方程被表示为约化欧拉-拉格朗日算子与所计算的 $\hat{T}$-型算子的复合，形成算子 $\hat{A}$。
• 该算法被明确应用于 $\mathbb{R}^2$ 上的SE(2)作用，得到了 $\hat{A}$ 的闭式表达式，其形式为 $y$、$v = \kappa_s$ 及其导数的函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将一个关于G-不变的外微分系统约化为轨道空间上的等价系统，同时保持解的对应关系？
• RQ2 约化喷射空间的局部特征上同调与对称群的李代数上同调之间存在何种上同调关系？
• RQ3 如何从约化系统系统地计算变分问题的不变欧拉-拉格朗日方程？
• RQ4 欧拉-拉格朗日方程在轨道空间上的前推具有何种几何意义？
• RQ5 轨道约化过程能否用于从约化系统的解重构原始系统的解？

主要发现

• 约化EDS的解与原始系统正则解模空间之间存在一一对应关系，如定理2所证明。
• 建立了约化无约束喷射空间的局部特征上同调与对称群的李代数上同调之间的同构关系，如定理3所述。
• 证明了不变欧拉-拉格朗日方程是约化欧拉-拉格朗日算子与由维诺格拉多夫谱序列同态导出的附加微分算子的复合。
• 提供了一种显式算法，用于计算微分算子 $\hat{T}_{I\alpha'}^{\alpha I'}$ 及其结果算子 $\hat{A}$，该算子生成了不变欧拉-拉格朗日方程。
• 在 $\mathbb{R}^2$ 上SE(2)作用的实例中，推导出算子 $\hat{A} = \left((v_{1}+v\frac{d}{dy})^{2}+y^{2}\right)(2v_{1}+v\frac{d}{dy})-vy$，且约化后的欧拉-拉格朗日系统与曲线喷射空间上的标准系统一致。
• SE(2)作用的约化无限喷射空间同构于 $\mathbb{R}^2$ 中曲线的无限喷射空间，证实了约化过程的一致性。