[论文解读] Orbits of coanalytic Toeplitz operators and weak hypercyclicity

Stanislav Shkarin|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2012

Holomorphic and Operator Theory参考文献 21被引用 9

一句话总结

本文建立了一类有界线性算子在巴拿赫空间上弱超循环性的新判据，并将其应用于证明：在符号满足特定几何与解析条件时，某些共解析型 Toeplitz 算子在 Hardy 空间上是弱超循环的。关键结果包括：在由光滑若尔当曲线与单位圆相交所界定的区域上的 Hardy 空间中，乘法算子的弱超循环性；以及当符号满足某些 $L^1$-对数可积条件时，共解析型 Toeplitz 算子的非 1-弱超循环性。

ABSTRACT

We prove a new criterion of weak hypercyclicity of a bounded linear operator on a Banach space. Applying this criterion, we solve few open questions. Namely, we show that if $G$ is a region of $\C$ bounded by a smooth Jordan curve $Γ$ such that $G$ does not meet the unit ball but $Γ$ intersects the unit circle in a non-trivial arc, then $M^*$ is a weakly hypercyclic operator on $H^2(G)$, where $M$ is the multiplication by the argument operator $Mf(z)=zf(z)$. We also prove that if $g$ is a non-constant function from the Hardy space $H^\infty(\D)$ on the unit disk $\D$ such that $g(\D)\cap\D=\varnothing$ and the set $\{z\in\C:|z|=1,\ |g(z)|=1\}$ is a subset of the unit circle $\T$ of positive Lebesgue measure, then the coanalytic Toeplitz operator $T^*_g$ on the Hardy space $H^2(\D)$ is weakly hypercyclic. On the contrary, if $g(\D)\cap\D=\varnothing$, $|g|>1$ almost everywhere on $\T$ and $\log(|g|-1)\in L^1(\T)$, then $T^*_g$ is not 1-weakly hypercyclic and hence is not weakly hypercyclic (a bounded linear operator $T$ on a complex Banach space $X$ is called $n$-weakly hypercyclic if there is $x\in X$ such that for every surjective continuous linear operator $S:X o \C^n$, the set $\{S(T^mx):m\in\N\}$ is dense in $\C^n$). The last result is based upon lower estimates of the norms of the members of orbits of a coanalytic Toeplitz operator. Finally, we show that there is a 1-weakly hypercyclic operator on a Hilbert space, whose square is non-cyclic and prove that a Banach space operator is weakly hypercyclic if and only if it is $n$-weakly hypercyclic for every $n\in\N$.

研究动机与目标

• 为可分无限维巴拿赫空间上有界线性算子的弱超循环性建立新判据。
• 解决关于 Hardy 空间上共解析型 Toeplitz 算子弱超循环性的开放问题。
• 刻画在某些区域 $G$ 上的 $H^2(G)$ 中乘法算子弱超循环的条件。
• 确定 Hardy 空间 $H^2(\mathbb{D})$ 上共解析型 Toeplitz 算子 $T_g^*$ 何时为 $n$-弱超循环或非弱超循环，特别是与符号模长及其边界行为的关系。
• 澄清 $n$-弱超循环性与弱超循环性的关系，并构造具有特定循环性质的示例。

提出的方法

• 基于存在一个 $T$-不变的稠密子空间 $F$，其赋予更强的希尔伯特范数，$T|_F$ 具有等距扩张，且其后向轨道在范数下收敛，提出弱超循环性的新判据。
• 通过分析 $T_g^*$ 的轨道范数增长（利用内积定义的整函数），将该判据应用于共解析型 Toeplitz 算子。
• 运用复分析工具：Phragmén–Lindelöf 原理、控制收敛定理，以及单位圆上测度的性质。
• 使用 Mergelyan 定理及指数型整函数的估计，证明某些轨道范数的增长快于任意多项式。
• 将 $F_f(z) = \langle f, T_g^{*n} f \rangle$ 视为整函数进行分析，并证明其不能多项式有界，除非 $f=0$。
• 利用 $H^2(\mathbb{D})$ 的结构及 $g$ 的谱性质，推导出 $\log(|g|-1) \in L^1(\mathbb{T})$ 时非弱超循环性的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $g(\mathbb{D}) \cap \mathbb{D} = \varnothing$ 且 $|g|=1$ 在单位圆上正测度集上成立时，$H^2(\mathbb{D})$ 上的共解析型 Toeplitz 算子 $T_g^*$ 在什么条件下是弱超循环的？
• RQ2 当区域 $G$ 由一条与单位圆非平凡相交的光滑若尔当曲线所界定时，$H^2(G)$ 上乘法算子 $z$ 的伴随算子何时是弱超循环的？
• RQ3 是否存在一个有界线性算子是 1-弱超循环的，但其平方算子是非循环的？
• RQ4 弱超循环性是否对所有 $n \in \mathbb{N}$ 都等价于 $n$-弱超循环性？
• RQ5 对 $T_g^*$ 的非弱超循环性结果是否可从 $g \in \mathbb{E}_1(\mathbb{D})$ 推广至所有 $g \in \mathbb{E}(\mathbb{D})$？

主要发现

• 若区域 $G$ 由一条与单位圆相交于非平凡弧段的光滑若尔当曲线 $\Gamma$ 所界定，且 $G \cap \mathbb{D} = \varnothing$，则 $H^2(G)$ 上的算子 $M^*$ 是弱超循环的。
• 若 $g \in H^\infty(\mathbb{D})$ 满足 $g(\mathbb{D}) \cap \mathbb{D} = \varnothing$，且在 $\mathbb{T}$ 上的正测度集上 $|g|=1$，则 $T_g^*$ 在 $H^2(\mathbb{D})$ 上是弱超循环的。
• 若 $g(\mathbb{D}) \cap \mathbb{D} = \varnothing$，$|g| > 1$ 几乎处处在 $\mathbb{T}$ 上成立，且 $\log(|g|-1) \in L^1(\mathbb{T})$，则 $T_g^*$ 不是 1-弱超循环的，因此不是弱超循环的。
• 存在一个在希尔伯特空间上 1-弱超循环的算子，其平方算子是非循环的。
• 巴拿赫空间上的算子是弱超循环的，当且仅当对所有 $n \in \mathbb{N}$，它都是 $n$-弱超循环的。
• 非弱超循环性的证明依赖于轨道范数增长快于任意多项式，该结论通过证明相关整函数在实轴上非多项式有界而建立。