[论文解读] Order convergence in infinite-dimensional vector lattices is not topological

Y. A. Dabboorasad, Eduard Emelyanov+1 more|arXiv (Cornell University)|May 28, 2017

Advanced Banach Space Theory参考文献 11被引用 10

一句话总结

本文证明了在无限维向量格中，序收敛并非拓扑的，即不存在任何拓扑能对所有网诱导出序收敛。然而，在原子性序连续的巴拿赫格中，序收敛在序有界子集上是拓扑的，这提供了一个关键类别，使得序收敛与拓扑收敛一致。

ABSTRACT

In this note, we show that the order convergence in a vector lattice $X$ is not topological unless $\dim X

研究动机与目标

• 确定向量格中的序收敛是否可由某种拓扑诱导。
• 识别序收敛与拓扑收敛一致的条件。
• 研究在结构化格中，无界序收敛、范数收敛与拓扑收敛之间的关系。
• 刻画原子性序连续巴拿赫格中，序收敛在序区间上为拓扑的特征。
• 提供一个部分逆命题，表明若在巴拿赫格中序收敛在所有序区间上是拓扑的，则该格必为原子的。

提出的方法

• 证明：若一个拓扑向量格中所有网的序收敛等价于拓扑收敛，则该空间必为有限维的。
• 通过反证法，利用具有弱*极限点的巴拿赫格中的网，证明该网除非空间为有限维，否则无法在范数下收敛。
• 建立在原子向量格中，无界序收敛（uo-收敛）等价于逐点收敛。
• 利用到原子上的带投影构造递减网，以控制序有界网，从而支持序收敛的论证。
• 应用在序连续的原子巴拿赫格中，无界范数收敛（un-收敛）与无界序收敛（uo-收敛）之间的等价性。
• 利用 un-拓扑始终是拓扑的这一事实，并将其应用于证明在原子性序连续巴拿赫格中，序区间上的 o-收敛是拓扑的。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，向量格中的序收敛是拓扑的？
• RQ2 无限维向量格中的序收敛是否可由任何拓扑诱导？
• RQ3 在原子向量格中，无界序收敛是否为拓扑的？
• RQ4 若在序连续巴拿赫格中，序收敛与拓扑收敛在所有序区间上一致，是否意味着该格为原子的？
• RQ5 在原子性序连续巴拿赫格中，无界序收敛与无界范数收敛之间有何关系？

主要发现

• 除非空间为有限维，否则向量格中的序收敛并非拓扑的。
• 在原子向量格中，无界序收敛等价于逐点收敛，因此是拓扑的。
• 在原子性序连续巴拿赫格中，序收敛在每个序有界子集上都是拓扑的。
• 若在序连续巴拿赫格上存在一个豪斯多夫局部凸拓扑，且其在所有序区间上诱导出序收敛，则该格必为原子的。
• 在序连续的原子巴拿赫格中，无界序收敛与无界范数收敛一致。
• un-拓扑始终是拓扑的，但序收敛并非如此，这凸显了无限维格中收敛结构的根本差异。