[论文解读] Order determination in general vector autoregressions

Bent Nielsen|Oxford University Research Archive (ORA) (University of Oxford)|Feb 26, 2007

Spectroscopy and Chemometric Analyses被引用 6

一句话总结

本文建立了在一般向量自回归（VAR）模型中，无需假设平稳性或已知特征根信息，对滞后阶数确定的似然比检验、信息准则和残差检验的渐近有效性。证明了在包括非平稳和爆破过程在内的广义条件下，滞后阶数估计的一致性，利用先进的鞅极限理论及Wei和Lai关于带确定性项的自回归模型中最小二乘估计量的强一致性结果的扩展。

ABSTRACT

In the application of autoregressive models the order of the model is often estimated using either a sequence of likelihood ratio tests, a likelihood based information criterion, or a residual based test. The properties of such procedures has been discussed extensively under the assumption that the characteristic roots of the autoregression are stationary. While non-stationary situations have also been considered the results in the literature depend on conditions to the characteristic roots. It is here shown that these methods for lag length determination can be used regardless of the assumption to the characteristic roots and also in the presence of deterministic terms. The proofs are based on methods developed by C. Z. Wei in his joint work with T. L. Lai.

研究动机与目标

• 在不假设特征根平稳性的前提下，建立向量自回归模型中滞后阶数确定方法的渐近有效性。
• 将现有信息准则和似然比检验的一致性结果推广至包含非平稳和爆破过程的一般VAR模型。
• 证明即使在非平稳设定下，基于残差的检验也与似然比检验渐近等价。
• 提供一个统一的阶数选择框架，无需事先识别特征根或过程的平稳性。
• 将Wei和Lai的强一致性结果推广至包含确定性项的自回归模型，实现对滞后阶数的稳健估计。

提出的方法

• 基于嵌套模型（含与不含最后一期滞后）的对数似然值之差，构造似然比检验统计量。
• 采用惩罚似然准则形式 Φj = log det ˆΩj + j f(T)/T，其中 f(T) 的选择确保在任意根位置下的一致性。
• 通过残差对滞后变量和回归元的辅助回归，实施基于残差的检验，证明其与似然比检验渐近等价。
• 依赖先进的鞅极限理论及Wei和Lai关于带确定性项的自回归模型中最小二乘估计量的强一致性结果。
• 通过分块矩阵求逆引入代数分解，并将Lai和Wei的结果推广以容纳常数项和趋势等确定性项。
• 利用估计的创新扰动协方差矩阵的迹和特征值分析，建立估计阶数的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不假设平稳性或已知特征根信息的前提下，向量自回归模型中滞后阶数的似然比检验是否可信赖？
• RQ2 惩罚似然方法（如AIC、BIC、HQ）在一般VAR模型中是否对阶数选择具有一致性，即使过程为非平稳或爆破型？
• RQ3 在一般VAR模型中，基于残差的设定偏误检验是否与似然比检验渐近等价？
• RQ4 能否将自回归模型中最小二乘估计量的强一致性结果扩展至包含确定性项和非平稳过程的情形？
• RQ5 对惩罚函数 f(T) 需满足何种条件，才能确保在所有类型特征根下阶数估计的一致性？

主要发现

• 在原假设 k0 < k 下，似然比检验统计量 LR(Ak = 0) 的渐近分布为 χ²，无论特征根为何，从而可在无需预先确定根位置的情况下实现阶数确定。
• 当 f(T) = o(T) 且 f(T) → ∞ 时，惩罚似然估计量 ˆk 具有弱一致性，且该一致性在平稳、非平稳及爆破过程中均一致成立。
• 即使在非平稳设定下，基于残差的检验统计量与一般VAR模型中的似然比检验统计量也渐近等价。
• T(ˆΩj−1 − ˆΩj) 的渐近展开中主项为 Q(Yt−1)，在假设 (2.1) 和 (2.2) 下且 λ > 4 时为 OP(1)，确保了一致性所需的渐近速率。
• 证明表明，在原假设下，基于残差的检验统计量收敛至非退化极限，关键项 Q(Xt−k, ..., Xt−k−m+1|Xt−1, Dt) 与 T(ˆΩk−1 − ˆΩk+m−1) 渐近等价。
• 在多种关于确定性成分的条件下，阶数估计量的一致性仍成立，包括系统矩阵与确定性矩阵无公共特征值的情形，以及对扰动过程的特定假设。