[论文解读] Order-Preserving Suffix Trees and Their Algorithmic Applications

Maxime Crochemore, Costas S. Iliopoulos+7 more|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2013

Algorithms and Data Compression被引用 7

一句话总结

本文提出有序保持后缀树（opSufTree），一种支持在时间序列中基于顺序同构进行高效模式匹配与重复检测的数据结构。提出了一种随机化$O(n/\log n)/\log\log n$时间复杂度的算法来构建opSufTree，实现线性时间的有序保持模式匹配以及对op-square（重复模式）的高效检测，应用于股票趋势与旋律匹配等领域。

ABSTRACT

Recently Kubica et al. (Inf. Process. Let., 2013) and Kim et al. (submitted to Theor. Comp. Sci.) introduced order-preserving pattern matching. In this problem we are looking for consecutive substrings of the text that have the same "shape" as a given pattern. These results include a linear-time order-preserving pattern matching algorithm for polynomially-bounded alphabet and an extension of this result to pattern matching with multiple patterns. We make one step forward in the analysis and give an $O(\frac{n\log{n}}{\log\log{n}})$ time randomized algorithm constructing suffix trees in the order-preserving setting. We show a number of applications of order-preserving suffix trees to identify patterns and repetitions in time series.

研究动机与目标

• 为解决在基于相对顺序而非精确字符匹配定义的有序保持模式匹配中，对高效算法的需求。
• 将经典后缀树的应用推广至有序保持场景，为分析股票价格与乐谱等时间序列数据提供新工具。
• 设计一种支持在顺序同构下高效查询操作的数据结构——有序保持后缀树。
• 提供一种随机化构造算法，实现接近最优的时间复杂度，优于先前针对有界字母表的线性时间解法。
• 将框架扩展至检测基本重复模式，如op-square，以识别时间序列中的重复趋势。

提出的方法

• 通过位置上的相对顺序定义字符串之间的顺序同构：若两个字符串的字符比较关系保持不变，则称其为顺序同构。
• 引入字符串的编码表示，即由对$(prev_<, prev_=)$组成的序列，以捕捉每个字符相对于先前位置的相对顺序。
• 通过在输入字符串的编码序列上构建后缀树，构造有序保持后缀树（opSufTree），从而支持高效的顺序同构查询。
• 使用基于正交范围计数的离线字符预言机，模拟对编码值的访问，而无需显式存储。
• 借鉴Cole和Hariharan（或Lee、Na与Park）的框架，设计一种时间复杂度为$O(n\log n/\log\log n)$的随机化构造算法。
• 利用opSufTree结构与基于编码的比较，将经典后缀树算法（如寻找平方串与LCA查询）适配至有序保持场景。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否构建一种支持高效有序保持模式匹配的后缀树数据结构，其中模式由相对顺序而非精确字符序列定义？
• RQ2 此类数据结构的最优时间复杂度是多少？能否通过随机化算法实现？
• RQ3 有序保持后缀树如何用于检测时间序列中的基本重复模式，如op-square？
• RQ4 经典后缀树应用（如寻找所有平方串或基于LCA的查询）能否在有序保持场景下以最小开销适配？
• RQ5 是否存在一种方法，利用紧凑且可高效构造的数据结构，支持对顺序同构子串的高效在线查询？

主要发现

• 提出了一种时间复杂度为$O(n\log n/\log\log n)$的随机化算法用于构建有序保持后缀树，优于先前针对多项式有界字母表的线性时间构造方法。
• opSufTree支持每次查询在$O(m\log n/\log\log n)$时间内完成有序保持模式匹配，其中$m$为模式长度。
• 通过在opSufTree中对对应位置的子树进行遍历，可高效报告给定顺序同构模式的所有出现位置。
• 提出一种线性时间算法，用于判断字符串是否包含指定长度的op-square，该算法利用opSufTree与LCA查询。
• 设计了一种时间复杂度为$O(n\log n + \mathit{Occ})$的算法，用于报告字符串中所有op-square，其中$\mathit{Occ}$为总出现次数。
• 关键洞察在于：子串$w[i..i+2k-1]$是op-square，当且仅当对应后缀$suf_i$与$suf_{i+k}$的叶子节点的最近公共祖先（LCA）的深度至少为$k$，从而可借助LCA数据结构实现高效检测。