[论文解读] Ordering with precedence constraints and budget minimization

Akbar Rafiey, Jeff Kinne+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2015

Advanced biosensing and bioanalysis techniques参考文献 23被引用 3

一句话总结

本文引入了二分图排序问题，这是一种具有优先约束和预算最小化的新型调度模型，其中集合 B 中的顶点代表可购买的输入，集合 S 中的顶点代表可销售的输出，边表示依赖关系。作者提出了一种在 O*(2^n) 时间内运行的精确算法，并针对特定图类（如二分图排列图、平凡完美二分图和互补二分图）给出了多项式时间解法，推动了可 tractable 情况的二分法分类。

ABSTRACT

We introduce a variation of the scheduling with precedence constraints problem that has applications to molecular folding and production management. We are given a bipartite graph $H=(B,S)$. Vertices in $B$ are thought of as goods or services that must be \emph{bought} to produce items in $S$ that are to be \emph{sold}. An edge from $j\in S$ to $i\in B$ indicates that the production of $j$ requires the purchase of $i$. Each vertex in $B$ has a cost, and each vertex in $S$ results in some gain. The goal is to obtain an ordering of $B\cup S$ that respects the precedence constraints and maximizes the minimal net profit encountered as the vertices are processed. We call this optimal value the \emph{budget} or \emph{capital} investment required for the bipartite graph, and refer to our problem as \emph{the bipartite graph ordering problem}. The problem is equivalent to a version of an NP-complete molecular folding problem that has been studied recently [12]. Work on the molecular folding problem has focused on heuristic algorithms and exponential-time exact algorithms for the un-weighted problem where costs are $\pm 1$ and when restricted to graphs arising from RNA folding. The bipartite graph present work seeks exact algorithms for solving the bipartite ordering problem. We demonstrate an algorithm that computes the optimal ordering in time $O^*(2^n)$ when $n$ is the number of vertices in the input bipartite graph. Our main result is a general strategy that can be used to find an optimal ordering in polynomial time for bipartite graphs that satisfy certain properties. We apply the technique to a variety of graph classes, obtaining polynomial-time solutions to the bipartite graph ordering problem for bipartite permutation graphs, trivially perfect, co-bipartite graphs, and trees.

研究动机与目标

• 建模并求解一种新型的优先约束调度问题，重点是最小化所需的资本投资（预算），而非加权完成时间。
• 将问题形式化为二分图排序问题，其中 B 中的顶点为购买的输入，S 中的顶点为销售的输出，且从 S 到 B 的边表示依赖关系。
• 识别出可在多项式时间内求解该问题的图类，目标是实现可 tractable 与 NP-完全情况的完整二分法分类。
• 通过将分子折叠和 RNA 结构转换问题建模为预算优化排序问题，对先前关于此类问题的研究进行推广和扩展。
• 提出一种基于质集和闭包字典序的通用算法策略，以指导在预算约束下的最优调度。

提出的方法

• 该问题被建模为有向二分图 H = (B, S)，其中从 S 到 B 的边表示 S 中的某个产品需要购买 B 中的某项物品。
• 每一步的预算定义为已处理顶点的累计净收益（收益减去成本），目标是最大化排序过程中遇到的最小预算。
• 一种关键的算法策略使用质集和闭包集（Superset_I(J)）来定义顶点组的字典序，从而在无需穷举搜索的情况下实现最优重排序。
• 该算法递归处理满足闭包和依赖约束的字典序最小的质子集 I，确保预算的保持。
• 通过证明任何最优排序均可被转换为遵守算法排序规则而不增加所需预算，建立了算法的正确性。
• 在一般情况下，运行时间被证明为 O*(2^n)，但对于特定图类（如二分图排列图、平凡完美二分图和互补二分图）则变为多项式时间。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些二分图类，预算最小化排序问题可在多项式时间内求解？
• RQ2 基于质集和闭包的所提算法策略能否推广以识别新的可 tractable 图类？
• RQ3 二分图排序问题是否存在多项式时间可解与 NP-完全实例之间的二分法？
• RQ4 该算法能否被调整以对更广泛的图族提供近似保证或固定参数可追踪解法？
• RQ5 该算法的结构是否允许对所有其运行时间为多项式时间的图类进行特征刻画？

主要发现

• 本文提出了一种精确算法，可在一般二分图上以 O*(2^n) 时间计算最优排序，其中 n 为顶点数。
• 针对三种特定图类（二分图排列图、平凡完美二分图和互补二分图）开发了多项式时间算法。
• 该算法使用基于闭包的质集字典序对来确保重排序过程中预算约束的保持。
• 通过归纳法和反证法证明了算法的正确性，表明任何最优排序均可被转换为遵循算法规则而不增加所需预算。
• 作者证明了该算法能正确识别在优先约束下任意给定二分图所需的最小资本投资（预算）。
• 本工作为潜在的二分法定理奠定了基础，该定理可将多项式时间可解实例与 NP-完全实例区分开来。