[论文解读] Ordering without forbidden patterns

Pavol Hell, Bojan Mohar+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 19被引用 5

一句话总结

本文提出了一种多项式时间的可认证算法，用于判断一个图是否允许存在某种不包含来自大小至多为三的模式集合 𝒮 中任何禁止有序模式的顶点排序。其主要贡献是为所有通过此类模式避免定义的图类（包括二分图、区间图、弦图和可比图）提供统一的禁止子结构表征，从而将所有此类问题的复杂度确定为多项式时间可解。

ABSTRACT

Let F be a set of ordered patterns, i.e., graphs whose vertices are linearly ordered. An F-free ordering of the vertices of a graph H is a linear ordering of V(H) such that none of patterns in F occurs as an induced ordered subgraph. We denote by ORD(F) the decision problem asking whether an input graph admits an F-free ordering; we also use ORD(F) to denote the class of graphs that do admit an F-free ordering. It was observed by Damaschke (and others) that many natural graph classes can be described as ORD(F) for sets F of small patterns (with three or four vertices). Damaschke also noted that for many sets F consisting of patterns with three vertices, ORD(F) is polynomial-time solvable by known algorithms or their simple modifications. We complete the picture by proving that all these problems can be solved in polynomial time. In fact, we provide a single master algorithm, i.e., we solve in polynomial time the problem $ORD_3$ in which the input is a set F of patterns with at most three vertices and a graph H, and the problem is to decide whether or not H admits an F-free ordering of the vertices. Our algorithm certifies non-membership by a forbidden substructure, and thus provides a single forbidden structure characterization for all the graph classes described by some ORD(F) with F consisting of patterns with at most three vertices. Many of the problems ORD(F) with F consisting of larger patterns have been shown to be NP-complete by Duffus, Ginn, and Rodl, and we add two simple examples. We also discuss a bipartite version of the problem, BORD(F), in which the input is a bipartite graph H with a fixed bipartition of the vertices, and we are given a set F of bipartite patterns. We also describe some examples of digraph ordering problems and algorithms. We conjecture that for every set F of forbidden patterns, ORD(F) is either polynomial or NP-complete.

研究动机与目标

• 解决由大小至多为三的顶点的禁止有序模式定义的图排序问题的复杂度。
• 为所有此类问题提供一个统一的可认证算法。
• 提供一种禁止子结构表征，以捕捉如区间图、弦图和可比图等著名图类。
• 将该框架扩展至大小至多为四的有序二分图模式，从而获得类似的多项式时间解法。
• 推测所有此类模式避免问题要么是多项式时间可解，要么是 NP-完全的。

提出的方法

• 该算法作为一种可认证算法运行，用于检测输入图中是否存在禁止子结构。
• 它将问题简化为一种类似 2-SAT 的约束满足问题，其中包含排序约束。
• 该算法采用一种贪心的顶点排序策略，避免嵌入禁止集合 𝒮 中的任何模式。
• 当不存在有效排序时，通过识别一个最小的禁止子结构来构建非成员资格的证明。
• 对于二分图情形，该算法扩展至大小至多为四的有序二分图模式，同时保持多项式时间复杂度。
• 该方法可推广至有向图模式，并通过可逆对提供一种表征障碍的框架。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有由大小为三的禁止有序模式定义的图类是否都能在多项式时间内识别？
• RQ2 是否存在一个统一的可认证算法，通过单一的禁止子结构表征来捕捉所有此类图类？
• RQ3 当禁止模式的大小为四或更大时，排序问题的复杂度如何？
• RQ4 该框架能否扩展至大小至多为四的有序模式的二分图？
• RQ5 对于任意禁止模式集合，排序问题是否总是属于 P 或 NP-完全？

主要发现

• 所有形如 Ord(𝒮) 的问题，其中 𝒮 为大小至多为三的有序模式集合，均可在多项式时间内求解。
• 本文为问题 Ord₃ 提供了一个统一的可认证算法，该算法可判定图是否允许对任意 𝒮 ⊆ 𝒮₃ 的 𝒮-自由排序。
• 该算法产生了一种禁止子结构表征，统一了二分图、分离图、区间图、正规区间图、弦图和可比图的识别。
• 对于二分图，问题 BiOrd₄ 同样通过类似的可认证算法在多项式时间内求解。
• 本文提供了两个简单的 NP-完全情形示例，适用于更大规模的模式，证实复杂度的分界线位于大小三或四之后。
• 作者推测所有此类模式避免问题要么属于 P，要么属于 NP-完全，暗示了复杂度上的二分性。