[论文解读] Orderly generation of Butson Hadamard matrices

Pekka H.J. Lampio, Patric R. J. Östergård+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2017

graph theory and CDMA systems参考文献 14被引用 6

一句话总结

本文使用有序生成法（orderly generation）对小规模 $n$ 和 $q$ 的 Butson 型复 Hadamard 矩阵 $χβ(n,q)$ 进行计算机辅助分类，该方法可实现无等价类的穷举枚举。主要成果包括：在单峰等价关系下，精确枚举出 72 个 $χβ(21,3)$ 矩阵、1,786,763 个 $χβ(16,4)$ 矩阵和 167,776 个 $χβ(14,6)$ 矩阵；首次构造出 $χβ(14,10)$ 矩阵；并证明了 $χβ(8,15)$、$χβ(11,q)$（其中 $q \in \{10,12,14,15\}$）以及 $χβ(13,10)$ 矩阵的非存在性。

ABSTRACT

In this paper Butson-type complex Hadamard matrices $\mathrm{BH}(n,q)$ of order $n$ and complexity $q$ are classified for small parameters by computer-aided methods. Our main results include the enumeration of $\mathrm{BH}(21,3)$, $\mathrm{BH}(16,4)$, and $\mathrm{BH}(14,6)$ matrices. There are exactly $72$, 1786763, and $167776$ such matrices, up to monomial equivalence. Additionally, we show an example of a $\mathrm{BH}(14,10)$ matrix for the first time, and show the nonexistence of $\mathrm{BH}(8,15)$, $\mathrm{BH}(11,q)$ for $q\in\{10,12,14,15\}$, and $\mathrm{BH}(13,10)$ matrices.

研究动机与目标

• 使用计算方法对小阶数 $n$ 和复杂度 $q$ 的 Butson 型复 Hadamard 矩阵 $\mathrm{BH}(n,q)$ 进行分类。
• 将先前关于 $χβ(n,q)$ 矩阵存在性与非存在性的研究工作，拓展至 $n \leq 10$、$q \leq 14$ 之外的范围。
• 首次提供 $χβ(14,10)$ 矩阵的显式构造，并证明若干此前未解决情况的非存在性。
• 通过定理 4.6 建立虚数 $χβ(n,6)$ 与 $χβ(2n,4)$ 矩阵之间的结构联系。
• 将生成的矩阵作为公开电子补充材料，供后续研究使用。

提出的方法

• 作者使用有序生成法（一种规范标记技术），在单峰等价关系下对 Butson 矩阵进行无等价类的穷举枚举。
• 矩阵以对数形式 $L(H) \in \mathbb{Z}_q^{n \times n}$ 表示，其中元素对应 $q$ 次单位根的指数。
• 该方法采用第二列剪枝策略，通过固定第一列并按字典序对行进行排序，以减少搜索空间。
• 在非存在性证明过程中，使用 Cliquer（一个图着色与团搜索库）来剪枝搜索树，通过检查完全正交矩阵扩展的可能性。
• 所有矩阵均经过去相位处理（将第一行和第一列设为零），以减少冗余并确保规范表示。
• 非存在性结果通过使用和不使用 Cliquer 两种方式验证，以确保可复现性并避免对外部库的依赖。

实验结果

研究问题

• RQ1 在单峰等价关系下，$χβ(21,3)$ 矩阵共有多少个？
• RQ2 在单峰等价关系下，$χβ(16,4)$ 矩阵共有多少个？
• RQ3 $χβ(14,10)$ 矩阵是否存在？若存在，能否构造出来？
• RQ4 对于 $q \in \{10,12,14,15\}$，$χβ(11,q)$ 矩阵是否存在，其存在性状态如何？
• RQ5 $χβ(13,10)$ 矩阵能否被构造，或其非存在性是否可被证明？

主要发现

• 在单峰等价关系下，$χβ(21,3)$ 矩阵恰好有 72 个。
• 在单峰等价关系下，$χβ(16,4)$ 矩阵的数量为 1,786,763 个。
• 在单峰等价关系下，$χβ(14,6)$ 矩阵恰好有 167,776 个。
• 首次成功构造出 $χβ(14,10)$ 矩阵。
• 本文证明了 $χβ(8,15)$ 矩阵的非存在性。
• 同时证明了当 $q \in \{10,12,14,15\}$ 时，$χβ(11,q)$ 矩阵的非存在性，以及 $χβ(13,10)$ 矩阵的非存在性。