[论文解读] Orders induced by segments in floorplan partitions and (2-14-3,3-41-2)-avoiding permutations

Andrei Asinowski, Gill Barequet+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2010

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 28被引用 4

一句话总结

本文建立了平面图中基于线段的排列与避免 (2-14-3, 3-41-2) 模式的排列之间的双射，证明了这些排列是完整 Baxter 排列的“偶部”。本文引入了一类新的避免模式的排列家族，通过禁止模式对其进行刻画，并完成了其计数，揭示了通过线段排列与矩形排列的叠加，与著名的 Baxter 排列之间存在直接联系。

ABSTRACT

A floorplan is a tiling of a rectangle by rectangles. There are natural ways to order the elements---rectangles and segments---of a floorplan. Ackerman, Barequet and Pinter studied a pair of orders induced by neighborhood relations between rectangles, and obtained a natural bijection between these pairs and (2-41-3, 3-14-2)-avoiding permutations, also known as (reduced) Baxter permutations. In the present paper, we first perform a similar study for a pair of orders induced by neighborhood relations between segments of a floorplan. We obtain a natural bijection between these pairs and another family of permutations, namely (2-14-3, 3-41-2)-avoiding permutations. Then, we investigate relations between the two kinds of pairs of orders---and, correspondingly, between (2-41-3, 3-14-2)- and (2-14-3, 3-41-2)-avoiding permutations. In particular, we prove that the superposition of both permutations gives a complete Baxter permutation (originally called w-admissible, by Baxter and Joichi in the sixties). In other words, (2-14-3, 3-41-2)-avoiding permutations are the hidden part of complete Baxter permutations. We enumerate these permutations. To our knowledge, the characterization of these permutations in terms of forbidden patterns and their enumeration are both new results. Finally, we also study the special case of the so-called guillotine floorplans.

研究动机与目标

• 建立平面图中由线段邻接关系诱导的两组排列与一类新避免模式排列之间的自然双射。
• 研究线段诱导排列与先前研究的矩形诱导排列（即 Baxter 排列）之间的结构与计数关系。
• 以禁止模式的形式刻画新排列家族，并提供其计数公式。
• 探讨 guillotine 平面图的特殊情况，并将其与按点可分排列关联起来。
• 为理解矩形剖分与平面图中的线段嵌入提供组合框架。

提出的方法

• 基于线段的左右与上下邻接关系，在平面图的线段上定义两个偏序。
• 从线段排列构造一个排列 S(P)，类似于先前工作中矩形的 R-排列。
• 通过基于线段分割的递归分解，证明 S(P) 是 (2-14-3, 3-41-2)-避免排列。
• 证明线段排列 S(P) 与矩形排列 R(P) 的叠加可得到完整的 Baxter 排列。
• 使用生成函数与转移定理，推导 (2-14-3, 3-41-2)-避免排列的计数公式。
• 通过 S(P) 的按点可分性，利用排列的递归分解，建立 guillotine 平面图的刻画。

实验结果

研究问题

• RQ1 平面图中由线段邻接关系诱导的排列具有怎样的组合结构？
• RQ2 (2-14-3, 3-41-2)-避免排列与著名的 (2-41-3, 3-14-2)-避免 Baxter 排列之间有何关系？
• RQ3 线段基排列能否通过一组禁止模式来刻画？其计数公式是什么？
• RQ4 同一平面图中，线段排列与矩形排列之间存在何种联系？
• RQ5 guillotine 平面图的性质如何与线段排列的结构相关联？

主要发现

• 本文引入了一类新的排列家族：(2-14-3, 3-41-2)-避免排列，其由特定禁止模式集合所刻画。
• 这些排列被证明是完整 Baxter 排列的“偶部”，完整 Baxter 排列通过叠加线段排列 πe 与矩形排列 πo 获得。
• 大小为 n 的 (2-14-3, 3-41-2)-避免排列的数量由公式 h_n = ∑_{i=0}^{⌊(n+1)/2⌋} (−1)^i * C(n+1−i, i) * g_{n+1−i} 给出，其中 g_k 为第 k 个可分排列数。
• 这类排列的生成函数为 H(t) = 1/t * G(t(1−t))，其中 G(t) 为可分排列的生成函数。
• 此类排列数量的渐近增长率为约 4.5465^n，忽略多项式因子。
• guillotine 平面图被刻画为恰好满足线段排列 S(P) 按点可分的平面图，该类平面图可通过所推导的生成函数进行计数。