[论文解读] Ordinal Approximation for Social Choice, Matching, and Facility Location Problems given Candidate Positions

Elliot Anshelevich, Wennan Zhu|arXiv (Cornell University)|May 8, 2018

Game Theory and Voting Systems参考文献 17被引用 12

一句话总结

本文通过利用度量空间中已知的设施位置，提出了一类新颖的序数近似算法，适用于设施选址、社会选择和匹配问题，即使仅掌握代理人的序数偏好亦可实现。在单设施选择中，其总成本与中位数社会成本的失真度至多为3，并提出了从全知算法到序数算法的黑箱归约方法，失真度至多为1+2β。

ABSTRACT

In this work we consider general facility location and social choice problems, in which sets of agents $\mathcal{A}$ and facilities $\mathcal{F}$ are located in a metric space, and our goal is to assign agents to facilities (as well as choose which facilities to open) in order to optimize the social cost. We form new algorithms to do this in the presence of only {\em ordinal information}, i.e., when the true costs or distances from the agents to the facilities are {\em unknown}, and only the ordinal preferences of the agents for the facilities are available. The main difference between our work and previous work in this area is that while we assume that only ordinal information about agent preferences in known, we know the exact locations of the possible facilities $\mathcal{F}$. Due to this extra information about the facilities, we are able to form powerful algorithms which have small {\em distortion}, i.e., perform almost as well as omniscient algorithms but use only ordinal information about agent preferences. For example, we present natural social choice mechanisms for choosing a single facility to open with distortion of at most 3 for minimizing both the total and the median social cost; this factor is provably the best possible. We analyze many general problems including matching, $k$-center, and $k$-median, and present black-box reductions from omniscient approximation algorithms with approximation factor $β$ to ordinal algorithms with approximation factor $1+2β$; doing this gives new ordinal algorithms for many important problems, and establishes a toolkit for analyzing such problems in the future.

研究动机与目标

• 设计在仅知代理人的序数偏好但设施位置完全已知时的设施选址与社会选择问题的近似算法。
• 在该部分信息设定下，最小化社会成本（例如距离之和或中位数）。
• 仅基于序数代理偏好与完整的设施位置数据，建立失真度的紧致界——失真度定义为算法成本与最优成本的最坏情况比值。
• 开发一个黑箱框架，将任意全知β-近似算法转化为失真度至多为1+2β的序数算法。
• 探讨设施位置知识在降低失真度方面的潜力，特别是在无法观测代理人的基数成本时。

提出的方法

• 利用度量空间中精确的设施位置，构建一个投影问题，其中代理偏好被排序，但距离未知。
• 对投影问题使用暴力求解方法，即使代理输入极少（仅提供每名代理的首选），仍可实现失真度至多为3。
• 设计一种社会选择的投票规则，选择单一设施，使总成本与中位数社会成本的失真度均≤3。
• 开发黑箱归约：给定任意全知β-近似算法，构造一个序数算法，其距离成本失真度至多为1+2β，设施成本失真度至多为β。
• 将该框架应用于关键问题：最小费用匹配、公平匹配、k-中心、k-中位数及设施选址问题，使用已知的近似算法作为预言机。
• 通过下界证明失真度界的紧致性，包括在匹配问题中对确定性机制的3-失真下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 当仅知代理人的序数偏好但设施位置完全已知时，能否在设施选址与社会选择问题中实现较小的失真度？
• RQ2 在仅知序数偏好与已知设施位置的单设施选择中，最小化总成本与中位数社会成本时，可实现的最佳失真度是多少？
• RQ3 能否系统性地将全知β-近似算法转化为失真度有界的序数算法？其失真度因子如何用β表示？
• RQ4 在仅知序数偏好与已知设施位置时，能否在匹配问题中实现低失真度，目标为最小化中位数边成本？
• RQ5 实现序数近似中低失真度所需的设施位置信息的最小量是多少？

主要发现

• 一种确定性机制在社会选择中对总成本与中位数社会成本的失真度均至多为3，且该界是紧致的。
• 对于最小费用与公平二分匹配问题，一种多项式时间算法仅使用首选偏好与已知设施位置，即可实现失真度至多为3。
• 对于设施选址问题，一种多项式时间算法实现失真度至多为3.976，结合了1.488-近似设施成本与3.976-近似距离成本。
• 对于k-中心问题，一种多项式时间算法实现失真度至多为5，基于对投影问题的2-近似。
• 对于k-中位数问题，一种多项式时间算法实现失真度至多为6.35，基于全知情形下2.675-近似的解。
• 下界结果表明，对于仅知序数偏好与设施位置的最小费用匹配问题，任何确定性机制的失真度均无法优于3。