[论文解读] Ordinal Maximin Share Approximation for Chores

Seyed Hossein Hosseini, Andrew Searns+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2022

Auction Theory and Applications被引用 4

一句话总结

本文提出了一种多项式时间算法，实现对不可分家务的1-out-of-⌊2n/3⌋最大最小份额（MMS）近似，并证明了1-out-of-⌊3n/4⌋ MMS分配的存在性。此外，通过装箱算法技术，进一步开发了一种实用算法，将⌊3n/4⌋界近似到对数因子以内。

ABSTRACT

We study the problem of fairly allocating a set of m indivisible chores (items with non-positive value) to n agents. We consider the desirable fairness notion of 1-out-of-d maximin share (MMS) -- the minimum value that an agent can guarantee by partitioning items into d bundles and receiving the least valued bundle -- and focus on ordinal approximation of MMS that aims at finding the largest d <= n for which 1-out-of-d MMS allocation exists. Our main contribution is a polynomial-time algorithm for 1-out-of-floor(2n/3) MMS allocation, and a proof of existence of 1-out-of-floor(3n/4) MMS allocation of chores. Furthermore, we show how to use recently-developed algorithms for bin-packing to approximate the latter bound up to a logarithmic factor in polynomial time.

研究动机与目标

• 为解决使用序数MMS近似这一公平准则（该准则将切蛋糕协议推广至不可分物品）在不可分家务分配中的挑战，实现公平分配。
• 通过引入基于捆绑包排序的序数方法，克服乘法MMS近似方法的局限性，提供稳健且可解释的公平性保证。
• 开发高效算法，实现对家务的强序数MMS近似，尤其聚焦于提升目前已知的最佳近似比。
• 通过利用装箱算法，将理论存在性结果与实际计算相连接，实现对最优序数MMS界在对数因子内的近似。

提出的方法

• 提出一种贪心算法，通过仔细控制大件家务的数量并采用一种新颖的划分策略，实现1-out-of-⌊2n/3⌋ MMS近似。
• 采用一个新颖的技术引理（引理3.8）来上界估计大件家务的数量，这对于处理所有物品必须被分配的家务分配约束至关重要。
• 通过精确计算MMS值，证明了1-out-of-⌊3n/4⌋ MMS分配的存在性，尽管在一般情况下计算这些值是难以实现的。
• 将调和算法（HR）用于装箱问题，以近似MMS阈值：每个家务被视为大小为|v_i(c)|的物品，箱子容量对应MMS阈值。
• 对可能的箱子大小进行二分查找，为每个代理人i计算一个阈值β_i，确保其分配价值至少为β_i，该值被证明是d = ⌊3n/4⌋ - a·log(⌊3n/4⌋)时MMS的下界。
• 将算法1（基于阈值的分配）与装箱算法计算出的阈值相结合，得到一个完整的、多项式时间的分配方案，确保所有代理人均获得1-out-of-⌊⌊3n/4⌋ - a·log(⌊3n/4⌋)⌋ MMS。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管标准物品分配启发式方法在家务分配中失效，是否仍可设计出一种多项式时间算法，实现1-out-of-⌊2n/3⌋ MMS近似？
• RQ2 即使在大规模实例中精确计算MMS不可行，1-out-of-⌊3n/4⌋ MMS分配在家务分配中是否存在？
• RQ3 能否将1-out-of-⌊3n/4⌋ MMS分配的理论存在性转化为一种实际的、多项式时间算法，且近似损失有界？
• RQ4 在计算可行性和稳健性方面，序数MMS近似框架相较于乘法MMS近似，在家务分配中表现如何？

主要发现

• 提出了一种多项式时间算法，确保对家务实现1-out-of-⌊2n/3⌋ MMS分配，其运行时间在代理人和家务数量上为强多项式时间。
• 证明了家务分配中1-out-of-⌊3n/4⌋ MMS分配的存在性，确立了该问题目前最佳的理论序数近似比。
• 开发了一种高效算法，将⌊3n/4⌋ MMS界近似到对数因子以内，对某个固定的a > 0，实现1-out-of-⌊⌊3n/4⌋ - a·log(⌊3n/4⌋)⌋ MMS。
• 该算法在输入值的二进制表示下运行时间多项式，使其在具有整数值家务效用的实际应用中具有可行性。
• 该方法具有鲁棒性：与乘法近似相比，序数近似对估值分布的小幅变化不那么敏感，提供了更强的概念性公平性依据。
• 该方法利用装箱算法和二分查找计算出的阈值，被证明是给定d下MMS值的下界，从而确保了分配的完整性和公平性。