[论文解读] Ore Extensions of Extended Symmetric and Reversible Rings

Mohamed Louzari, L'moufadal Ben Yakoub|ArXiv.org|Sep 4, 2007

Rings, Modules, and Algebras参考文献 18被引用 11

一句话总结

本文建立了在何种条件下对称性与可逆性在Ore扩张 $ R[x;\sigma,\delta] $ 中得以保持，表明若 $ R $ 是 $ (\sigma,\delta) $-斜Armendariz 且满足 $ a\sigma(b)=0 \Rightarrow ab=0 $，则 $ R $ 是对称的（相应地可逆的）当且仅当 $ R $ 是 $ \sigma $-对称的（相应地 $ \sigma $-可逆的）当且仅当 $ R[x;\sigma,\delta] $ 是对称的（相应地可逆的）。此外，本文进一步推广了Ore扩张中Baer、拟Baer及p.q.-Baer性质的结果。

ABSTRACT

Let $σ$ be an endomorphism and $δ$ an $σ$-derivation of a ring $R$. In this paper, we show that if $R$ is $(σ,δ)$-skew Armendariz and $aσ(b)=0$ implies $ab=0$ for $a,b\in R$. Then $R$ is symmetric (respectively, reversible) if and only if $R$ is $σ$-symmetric (respectively, $σ$-reversible) if and only if $R[x;σ,δ]$ is symmetric (respectively, reversible). Moreover, we study on the relationship between the Baerness, quasi-Baerness and p.q.-Baerness of a ring $R$ and these of the Ore extension $R[x;σ,δ]$. As a consequence we obtain a partial generalization of \cite{hong/2000}.

研究动机与目标

• 研究环 $ R $ 到其Ore扩张 $ R[x;\sigma,\delta] $ 的对称性与可逆性的传递性。
• 将关于 $ \sigma $-刚性、Armendariz及可逆环的已知结果推广至具有斜导子的Ore扩张情境。
• 推广Ore扩张下Baer、拟Baer及p.q.-Baer性质的保持性。
• 阐明 $ \sigma $-对称性、$ \sigma $-可逆性与 $ R $ 中经典对称性/可逆性之间的关系。
• 对文献[11]中关于 $ \sigma $-刚性环的结果提供部分推广，扩展至更广泛的 $ (\sigma,\delta) $-斜Armendariz环类。

提出的方法

• 引入条件 $ \mathcal{C}_\sigma $：$ a\sigma(b)=0 \Rightarrow ab=0 $，该条件将 $ \sigma $-可逆性与经典可逆性联系起来。
• 使用 $ (\sigma,\delta) $-斜Armendariz环，即若 $ pq=0 $ 在 $ R[x;\sigma,\delta] $ 中成立，则对所有 $ i,j $ 有 $ a_i \sigma^i(b_j) = 0 $。
• 在Ore扩张中应用递归系数分析，利用恒等式 $ x^na = \sum_{i=0}^n f_i^n(a)x^i $，其中 $ f_i^n $ 是 $ \sigma $ 与 $ \delta $ 的复合函数。
• 采用零化子技术：对子集 $ A \subseteq R[x;\sigma,\delta] $，通过系数集 $ A^* $ 分析其零化子。
• 证明若 $ R $ 是右 $ \sigma $-可逆的且满足 $ \mathcal{C}_\sigma $，则 $ R[x;\sigma,\delta] $ 继承Baer、拟Baer及p.q.-Baer性质。
• 利用引理4.1表明：若 $ e \in r_R(A^*) $，则 $ e \in r_{R[x;\sigma,\delta]}(A) $，从而实现在扩张中构造零化子。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下 $ R $ 是对称的（或可逆的）当且仅当 $ R[x;\sigma,\delta] $ 是对称的（或可逆的）？
• RQ2 $ (\sigma,\delta) $-斜Armendariz条件与 $ \mathcal{C}_\sigma $ 条件如何相互作用以保持对称性与可逆性？
• RQ3 当 $ R $ 满足 $ \mathcal{C}_\sigma $ 与 $ \sigma $-可逆性时，Baer、拟Baer及p.q.-Baer性质在 $ R[x;\sigma,\delta] $ 中在多大程度上得以保持？
• RQ4 能否将关于 $ \sigma $-刚性环的结果推广至满足 $ \mathcal{C}_\sigma $ 的 $ (\sigma,\delta) $-斜Armendariz环？
• RQ5 $ \sigma $-相容性与 $ \delta $-相容性在环论性质向Ore扩张传递过程中的作用是什么？

主要发现

• 若 $ R $ 是 $ (\sigma,\delta) $-斜Armendariz 且满足 $ \mathcal{C}_\sigma $，则 $ R $ 是对称的（相应地可逆的）当且仅当 $ R $ 是 $ \sigma $-对称的（相应地 $ \sigma $-可逆的）当且仅当 $ R[x;\sigma,\delta] $ 是对称的（相应地可逆的）。
• 定理4.2(1)-(3) 表明：若 $ R $ 是Baer、拟Baer或p.q.-Baer环且满足 $ \mathcal{C}_\sigma $，则 $ R[x;\sigma,\delta] $ 保持相同性质。
• 定理4.2的证明依赖于证明任意零化多项式的所有系数均属于由 $ R $ 中的幂等元生成的系数集 $ A^* $ 的零化子。
• 条件 $ \mathcal{C}_\sigma $ 至关重要：若无此条件，则 $ \sigma $-对称性不能推出扩张中的经典对称性。
• 本研究结果推广了[11, 定理11, 推论12与15]中关于 $ \sigma $-刚性环的结果，因为 $ \sigma $-rigid 环满足 $ \mathcal{C}_\sigma $ 且为 $ (\sigma,\delta) $-斜Armendariz环。
• 本文证实 $ \sigma $-rigid 环是 $ (\sigma,\delta) $-相容的且为约化的，因此满足主要定理所需的条件。