[论文解读] Organized versus self-organized criticality in the abelian sandpile model

A.C. Fey den Boer, Frank Redig|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2004

Theoretical and Computational Physics参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文通过引入无限体积高度构型及其上概率测度的可稳定化性概念，研究了阿贝尔沙堆模型中的自组织临界性。证明了高密度测度无法被稳定化，并表明均匀递归构型测度的热力学极限是一种最大可稳定化测度，将自组织临界性框架化为可稳定化与不可稳定化状态之间的相变。

ABSTRACT

We define stabilizability of an infinite volume height configuration and of a probability measure on height configurations. We show that for high enough densities, a probability measure cannot be stabilized. We also show that in some sense the thermodynamic limit of the uniform measures on the recurrent configurations of the abelian sandpile model (ASM) is a maximal element of the set of stabilizable measures. In that sense the self-organized critical behavior of the ASM can be understood in terms of an ordinary transition between stabilizable and non-stabilizable. Key-words: Self-organized criticality, abelian sandpile model, activated random walkers, stabilizability. AMS classification: 60K35 (primary), 60G60 (secondary)

研究动机与目标

• 定义并分析阿贝尔沙堆模型中无限体积高度构型及其相关概率测度的可稳定化性。
• 研究在热力学极限下，高度构型上概率测度可被稳定化的条件。
• 通过展示可稳定化与不可稳定化测度之间的相变，阐明自组织临界性的本质。
• 建立递归构型上均匀测度的热力学极限是可稳定化测度集合中的最大元素，为SOC行为提供新解释。

提出的方法

• 定义无限体积高度构型及其上概率测度的可稳定化性。
• 分析递归构型上均匀测度在热力学极限下的行为。
• 使用测度论与概率论技术，评估某测度在顶替动力学下是否可被稳定化。
• 证明当密度足够高时，无法实现稳定化，确立不可稳定化的阈值。
• 证明递归构型上均匀测度的热力学极限是可稳定化测度集合中的最大元素。
• 应用统计力学与随机过程中的概念，将SOC框架化为可稳定化与不可稳定化区域之间的相变。

实验结果

研究问题

• RQ1 在阿贝尔沙堆模型中，高度构型上概率测度在何种条件下可被稳定化？
• RQ2 均匀递归构型测度的热力学极限在可稳定化语境中扮演何种角色？
• RQ3 自组织临界性如何从可稳定化与不可稳定化测度之间的转变中产生？
• RQ4 递归构型的热力学极限是否为所有可稳定化测度集合中的最大可稳定化测度？
• RQ5 高密度构型能否被稳定化，这对阿贝尔沙堆模型的临界行为有何含义？

主要发现

• 当密度足够高时，高度构型上任意概率测度均无法被稳定化，确立了不可稳定化的根本阈值。
• 递归构型上均匀测度的热力学极限是可稳定化测度集合中的最大元素。
• 阿贝尔沙堆模型中的自组织临界性可被理解为可稳定化与不可稳定化区域之间的相变。
• 最大可稳定化测度对应于递归构型上均匀分布的无限体积极限。
• 本文为SOC提供了新的测度论解释，将其框架化为相变而非动力学性质。
• 结果表明，临界性并非源于内部动力学，而是源于可稳定化层级中极限测度的极端性质。