[论文解读] Origin and Implications of $A^2$-like Contribution in the Quantization of Circuit-QED Systems

Mohammad Moein Malekakhlagh, Hakan E. Türeci|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2015

Semiconductor Lasers and Optical Devices被引用 4

一句话总结

本文對耦合至多模传输线腔的超导transmon量子比特的量子哈密顿量進行了嚴謹推導，識別出$A^2$-類項的物理來源為量子比特對腔模的修正，此項來源為電流守恆約束的物理結果，而非規範選擇。該項導致能級頻率與耦合強度的可測量偏移，對電路量子電動力學系統中的極強耦合區與超輻射相變具有重要影響。

ABSTRACT

By placing an atom into a cavity, the electromagnetic mode structure of the cavity is modified. In Cavity QED, one manifestation of this phenomenon is the appearance of a gauge-dependent diamagnetic term, known as the $A^2$ contribution. Although in atomic Cavity QED, the resulting modification in the eigenmodes is negligible, in recent superconducting circuit realizations, such corrections can be observable and may have qualitative implications. We revisit the canonical quantization procedure of a circuit QED system consisting of a single superconducting transmon qubit coupled to a multimode superconducting microwave resonator. A complete derivation of the quantum Hamiltonian of an open circuit QED system consisting of a transmon qubit coupled to a leaky transmission line cavity is presented. We introduce a complete set of modes that properly conserves the current in the entire structure and present a sum rule for the dipole transition matrix elements of a multi-level transmon qubit coupled to a multi-mode cavity. Finally, an effective multi-mode Rabi model is derived with coefficients that are given in terms of circuit parameters.

研究动机与目标

• 嚴謹推導耦合至多模超導腔的transmon量子比特的量子哈密頓量，考慮量子比特引起的模態扭曲。
• 識別電路量子電動力學中$A^2$-類項的物理來源，透過與電流守恆及模態重正化聯繫，區分其與規範偽影的差異。
• 將量子化程序推廣至耦合至外部波導的開放、漏洩腔體，實現對耗散的真實模擬。
• 推導出一個有效多模Rabi哈密頓量，其耦合係數由電路參數完全決定，包含$A^2$-類修正。
• 評估現代cQED平台中$A^2$-類效應的可觀測性，特別是在極強耦合與長波導系統中。

提出的方法

• 推導包含量子比特位置局部電容擾動的transmon量子比特耦合至傳輸線腔的經典哈密頓量。
• 引入一組滿足量子比特位置電流守恆的完整本徵模，導致具有頻率偏移的修正模結構。
• 透過包含量子比特電容耦合的邊界條件，求解修正腔模的特徵值問題，得出本徵頻率的超越方程。
• 建立修正模的正交性與歸一化條件，包含涉及量子比特位置的非局部項。
• 透過將矢勢與共軛動量展開為新本徵模的函數，執行正則量子化，確保正確的對易關係。
• 推導出有效多模Rabi哈密頓量，其耦合強度$g_{mnl}$以量子比特矩陣元、模函數與電路參數表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 電路量子電動力學中$A^2$-類項的物理來源為何？為何其非僅為規範偽影？
• RQ2 transmon量子比特的存在如何改變超導傳輸線腔的本徵模與本徵頻率？
• RQ3 在現代cQED系統中，$A^2$-類修正在多大程度上可被觀測，特別是在極強耦合或長腔體系統中？
• RQ4 如何將量子化程序一致地延伸至具有外部波導耦合的開放、漏洩腔體？
• RQ5 這些修正對用於量子資訊應用的多模Rabi模型中有效耦合的影響為何？

主要发现

• 該$A^2$-類項源自量子比特對腔體電流分佈與本徵模結構的局部修正，而非規範選擇，因此具有物理可觀測性。
• 修正腔的本徵模為分段正弦函數，其在量子比特位置處導數不連續，並滿足包含$x_0$處狄拉克函數類項的修正正交條件。
• 本徵頻率方程包含參數$\chi_c \propto \alpha^2 a_0 L / S$，顯示僅當$S/L \sim \alpha^2 a_0$時，模態偏移才顯著，此條件可在極緊湊、高阻抗電路中實現。
• 修正腔哈密頓量在新模基底下對角化，本徵頻率由包含$k_n L$與量子比特耦合強度的超越方程決定。
• Rabi模型中有效耦合強度$g_{mnl}$明確依賴於量子比特位置處的修正模振幅$\tilde{A}_l(x_0)$，其中包含$A^2$-類修正。
• 推導顯示$A^2$-類效應可一致地納入哈密頓量中而不破壞電流守恆，為高精度模擬具有實際意義的cQED系統奠定基礎。