[论文解读] Orthogonal-ansatz VQE: Locating excited states without modifying a cost-function

Kyle Sherbert, Marco Buongiorno Nardelli|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2022

Quantum Information and Cryptography被引用 5

一句话总结

该论文提出正交假设变分量子算法（OA-VQE），一种在不修改代价函数的前提下寻找量子化学模拟中激发态的方法。通过设计参数化量子线路，使其天然地对先前找到的态保持正交性——利用在参考态上作用平凡的酉算符——该方法在增加线路深度的同时减少了测量开销，为在错误缓解技术进步的背景下实现近期量子优势提供了有希望的路径。

ABSTRACT

Most literature in the Variational Quantum Eigensolver (VQE) algorithm focuses on finding the ground state of a physical system, by minimizing a quantum-computed cost-function. When excited states are required, the cost-function is usually modified to include additional terms ensuring orthogonality with the ground state. This generally requires additional quantum circuit executions and measurements, increasing algorithmic complexity. Here we present a design strategy for the variational ansatz which enforces orthogonality in candidate excited states while still fully exploring the remaining subset of Hilbert space. The result is an excited-state VQE solver which trades increasing measurement complexity for increasing circuit complexity. The latter is anticipated to become preferable as quantum error mitigation and correction become more refined. We demonstrate our approach with three distinct ansatze, beginning with a simple single-body example, before generalizing to accommodate the full Hilbert space spanned by all qubits, and a constrained Hilbert space obeying particle number conservation.

研究动机与目标

• 为解决在变分量子算法中高效计算激发态而不需对代价函数进行昂贵修改的挑战。
• 通过将正交性强制从代价函数转移到假设设计中，减少激发态VQE的测量复杂度。
• 实现迭代激发态搜索，使所有态的代价函数保持一致，从而简化经典优化。
• 探索在保持正交性的同时能完全探索每个激发态剩余希尔伯特空间的线路族。
• 展示该方法在不同量子比特映射中的适用性，包括完整希尔伯特空间和粒子数守恒子空间。

提出的方法

• 设计一族酉算符 $\hat{\Omega}_l$，使其在参考态 $\ket{z_{i<l}}$ 上作用平凡，但与新的正交参考态 $\ket{z_l}$ 相互纠缠，从而确保 $\braket{\psi_0}{\psi_l} = 0$。
• 构建假设 $\ket{\psi_l} = V_l(\theta) V_0 \ket{z_l}$，其中 $V_0$ 从 $\ket{z_0}$ 准备基态 $\ket{\psi_0}$，而 $V_l(\theta)$ 通过酉不变性保持正交性。
• 使用Suzuki-Trotter分解将 $\exp(i\pi \hat{H})$ 实现为量子线路，通过有序泡利指数算符近似时间演化算符。
• 通过单量子比特旋转和受控门实现每个泡利词 $\hat{P}_k$ 的 $\exp(i\theta \hat{P}_k/2)$，对 $X$ 和 $Y$ 项使用基底旋转。
• 将该线路族应用于三种不同系统：单体模型、完整希尔伯特空间和粒子数守恒空间，证明其可扩展性。
• 通过构造确保正交性：对所有 $\theta$，有 $\braket{z_0}{V_l(\theta) \ket{z_0}} = 1$ 且 $\braket{z_0}{V_l(\theta) \ket{z_1}} = 0$，从而保证 $\braket{\psi_0}{\psi_1} = 0$。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不修改VQE中能量代价函数的前提下定位激发态？
• RQ2 能否设计出一种参数化量子线路，使其输出结果可证明地与先前找到的态正交？
• RQ3 是否将正交性强制从代价函数转移到假设设计中，可以减少迭代激发态搜索中的测量开销？
• RQ4 当通过假设设计强制正交性时，线路深度随系统规模如何扩展？
• RQ5 该方法能否推广到具有对称性（如粒子数守恒）的系统？

主要发现

• OA-VQE 方法成功制备了与基态可证明正交的激发态，且无需修改能量代价函数。
• 该方法以增加线路深度为代价，降低了测量复杂度，因为每次能量评估仅需测量原始哈密顿量。
• 对于单体系统，线路长度按 $\mathcal{O}(N)$ 缩放，表明对某些假设族具有有利的可扩展性。
• 该方法适用于完整希尔伯特空间和保持粒子数的约束子空间，显示出广泛的适用性。
• Suzuki-Trotter分解的使用允许使用标准泡利词分解准确模拟时间演化算符。
• 该方法支持迭代激发态搜索，代价函数保持一致，简化了经典优化并减少了误差传播。