[论文解读] Orthogonal functions generalizing Jack polynomials

Stephen Griffeth|ArXiv.org|Jul 2, 2007

Advanced Algebra and Geometry参考文献 20被引用 11

一句话总结

本文通过交换子代数 $\t$ 和交织算子，为复反射群 $G(r,1,n)$ 的有理 Cherednik 代数构造了广义 Jack 多项式的正交函数。它建立了基于标准表的 $\t$-特征函数的组合基，证明了范数公式，并通过 Clifford 理论描述了 $G(r,p,n)$ 的子模格，将结果扩展至有限维模和不可约顶模。

ABSTRACT

The rational Cherednik algebra $\HH$ is a certain algebra of differential-reflection operators attached to a complex reflection group $W$. Each irreducible representation $S^λ$ of $W$ corresponds to a standard module $M(λ)$ for $\HH$. This paper deals with the infinite family $G(r,1,n)$ of complex reflection groups; our goal is to study the standard modules using a commutative subalgebra $ tt$ of $\HH$ discovered by Dunkl and Opdam. In this case, the irreducible $W$-modules are indexed by certain sequences $λ$ of partitions. We first show that $ tt$ acts in an upper triangular fashion on each standard module $M(λ)$, with eigenvalues determined by the combinatorics of the set of standard tableaux on $λ$. As a consequence, we construct a basis for $M(λ)$ consisting of orthogonal functions on $\CC^n$ with values in the representation $S^λ$. For $G(1,1,n)$ with $λ=(n)$ these functions are the non-symmetric Jack polynomials. We use intertwining operators to deduce a norm formula for our orthogonal functions and give an explicit combinatorial description of the lattice of submodules of $M(λ)$ in the case in which the orthogonal functions are all well-defined.

研究动机与目标

• 通过正交函数将 Jack 多项式推广至 $G(r,1,n)$ 的有理 Cherednik 代数。
• 通过由标准表索引的组合基，描述标准模 $M(\theta)$ 的子模结构。
• 利用交织算子推导正交函数的范数公式。
• 通过 $\tH$ 的循环自同构群与 Clifford 理论，将结果从 $G(r,1,n)$ 扩展至 $G(r,p,n)$。
• 在 $\t$-谱为简单的情形下，为不可约顶模 $L(\theta,q)$ 提供显式基。

提出的方法

• 使用有理 Cherednik 代数 $\tH$ 的交换子代数 $\t$ 对标准模 $M(\theta)$ 的作用进行对角化。
• 证明 $\t$ 在 $M(\theta)$ 上作用为上三角矩阵，其特征值由 $\theta$ 上的标准表决定。
• 通过反变形式构造 $\tH$-模上正交函数的基 $f_{\nu,T}$。
• 应用交织算子，推导正交函数 $f_{\nu,T}$ 的范数公式。
• 利用对 $r$-分拆的循环移位自同构 $\t$，将 $M(\theta)$ 与 $M(\theta)^\alpha$ 关联，从而实现向 $G(r,p,n)$ 的下降。
• 利用 $C^{kr/p}$ 在 $M\theta$ 上的特征空间分解，分解 $M(\theta,q)$，并描述不可约顶模 $L(\theta,q)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为 $G(r,1,n)$ 的有理 Cherednik 代数的标准模构造广义 Jack 多项式的正交函数？
• RQ2 当正交函数定义良好时，$M(\theta)$ 的子模格的组合结构是什么？
• RQ3 交织算子如何导出正交函数的范数公式？
• RQ4 有理 Cherednik 代数 $\tH$ 的循环自同构群以何种方式实现向 $G(r,p,n)$ 的下降？
• RQ5 $G(r,p,n)$ 的 Verma 模 $M(\theta,q)$ 的不可约顶模 $L(\theta,q)$ 的分次维数是多少？

主要发现

• 交换子代数 $\t$ 在 $M(\theta)$ 上作用为上三角矩阵，其特征值由 $\theta$ 上的标准表决定，从而可构造正交函数基 $f_{\nu,T}$。
• 通过交织算子推导出正交函数 $f_{\nu,T}$ 的范数公式，从而对它们的大小实现显式控制。
• $M(\theta)$ 的子模结构通过定理 7.5 以组合方式描述，基元素由对 $(\nu,T)$ 索引，适用于定义良好的函数。
• 对于 $G(r,p,n)$，有理 Cherednik 代数是 $\tH$ 的循环自同构群的不动点子代数，可通过 Clifford 理论实现下降。
• $M(\theta,q)$ 的不可约顶模 $L\theta,q$ 的分次维数为 $\frac{k}{p} \dim(L(\theta)_i)$，其中 $k$ 为自同构的阶，$p/k$ 为特征空间的数量。
• 正交函数 $f_{\nu,T}$ 构成 $M(\theta)$ 的基；当 $\t$-谱为简单时，它们可给出不可约模 $L(\theta,q)$ 的显式基。