[论文解读] Orthogonal involution on algebras of degree 16 and the Killing form of E8

Skip Garibaldi|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 38被引用 10

一句话总结

该论文通过在16次中心单代数上使用正交对合来构造 $E_8$ 型群，并通过限制到扭曲的 $A_1$ 子群来计算其卡灵形式。它将阿腊松不变量 $e_3$ 扩展至 $I^3$ 中的此类代数，证明其可检测一般 Pfister 性质，并表明在奇数次扩张下（并基于一个猜想），这些 $E_8$ 群包含了所有具有平凡罗斯特不变量的 $E_8$ 群。

ABSTRACT

We exploit various inclusions of algebraic groups to give a new construction of groups of type E8, determine the Killing forms of the resulting E8's, and define an invariant of central simple algebras of degree 16 with orthogonal involution "in I^3", equivalently, groups of type D8 with a half-spin representation defined over the base field. The determination of the Killing form is done by restricting the adjoint representation to various twisted forms of PGL2 and requires very little computation. An appendix by Kirill Zainoulline contains a type of "index reduction" result for groups of type D.

研究动机与目标

• 将阿腊松不变量 $e_3$ 扩展至 $I^3$ 中的16次中心单代数上具有正交对合的情形，推广其在二次型中的已知行为。
• 通过张量积构造具有辛对合的四元数代数与具有正交对合的16次代数，构造 $E_8$ 型代数群。
• 通过限制到 $\operatorname{PGL}_2$ 的扭曲形式（同构于 $A_1$ 群）来计算所得 $E_8$ 群的卡灵形式，避免复杂计算。
• 建立不变量 $e^{16}_3$ 与罗斯特不变量之间的联系，表明该构造捕获了所有在数域上具有平凡罗斯特不变量的 $E_8$ 群。
• 证明当 $\deg A / \operatorname{ind} A$ 为奇数时，16次代数上的正交对合在 Severi-Brauer 簇函数域上是非双曲的，使用 $J$-不变量和动机方法。

提出的方法

• 通过代数 $A$ 的 Severi-Brauer 簇函数域定义 $e^{16}_3(A,\sigma)$，将阿腊松不变量 $e_3$ 扩展至16次代数上具有正交对合的情形。
• 利用包含关系 $\operatorname{PGL}_2 \times \operatorname{PSp}_8 \times \boldsymbol{\mu}_2 \subset \operatorname{HSpin}_{16}$，推导出对可分解对合 $ (Q,\bar{\,}) \otimes (C,\gamma) $ 上 $e^{16}_3$ 的公式。
• 通过限制伴随表示到 $\operatorname{PGL}_2$ 的扭曲形式（即 $A_1$ 群）来计算 $E_8$ 群的卡灵形式，从而简化计算。
• 通过 $\operatorname{HSpin}(A,\sigma)$ 和 $\operatorname{PGL}(A)$ 的 $J$-不变量使用动机技术，证明当 $\deg A / \operatorname{ind} A$ 为奇数时，对合是非双曲的。
• 利用罗斯特不变量和 [PSZ] 中的动机分解结构，比较 $J$-不变量并导出在假设对合为双曲时的矛盾。
• 利用 Zainoulline 附录中的结果，表明 $\operatorname{HSpin}_{16}$ 的 $J$-不变量有 $\frac{1}{4}\deg A = 4$ 个奇数 $d_i$ 的条目，而 $\operatorname{PGL}_{16}$ 仅有一个 $J$-不变量条目，若对合为双曲则导致矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 阿腊松不变量 $e_3$ 能否扩展至 $I^3$ 中16次中心单代数上具有正交对合的情形？
• RQ2 通过四元数代数与具有正交对合的16次代数张量积构造的 $E_8$ 群的卡灵形式是什么？
• RQ3 在域上，哪些 $E_8$ 群可由此构造生成？它们与具有平凡罗斯特不变量的群有何关系？
• RQ4 在何种条件下，16次代数上的正交对合在 Severi-Brauer 簇函数域上是非双曲的？
• RQ5 $\operatorname{HSpin}_{16}$ 与 $\operatorname{PGL}_{16}$ 的 $J$-不变量有何不同？这对对合的双曲性有何含义？

主要发现

• 对于 $I^3$ 中的16次中心单代数 $A$ 与正交对合 $\sigma$，不变量 $e^{16}_3(A,\sigma)$ 是良定义的，且可检测 $(A,\sigma)$ 是否为一般 Pfister 型。
• 通过 $ (Q,\bar{\,}) \otimes (C,\gamma) $ 构造的 $E_8$ 群在基域的奇数次扩张下，包含了所有数域上的 $E_8$ 群。
• 通过限制到 $\operatorname{PGL}_2$ 的扭曲形式（即 $A_1$ 群）来计算所得 $E_8$ 群的卡灵形式，相比先前方法显著简化了计算。
• $\operatorname{HSpin}_{16}$ 的 $J$-不变量有 $\frac{1}{4}\deg A = 4$ 个奇数 $d_i$ 的条目，而 $\operatorname{PGL}_{16}$ 仅有一个 $J$-不变量条目，若对合为双曲则导致矛盾，当 $\deg A / \operatorname{ind} A$ 为奇数时成立。
• $e^{16}_3$ 不变为零当且仅当对合为一般 Pfister 型，且这与相关 $E_8$ 群的罗斯特不变量为零一致。
• 若关于 $D_8$ 群的猜想成立，则该构造在域 $k$ 上生成所有具有平凡罗斯特不变量的 $E_8$ 群，且在数域上已验证此结论。