[论文解读] Orthogonal polynomial expansions for the Riemann xi function

Dan Romik|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2019

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一句话总结

本文引入并分析了三种新的关于黎曼xi函数Ξ(t)的无穷级数展开式，使用正交多项式：埃尔米特多项式、对称梅克纳-波拉茨克维奇Pₙ⁽³/⁴⁾(x;π/2)多项式以及连续哈恩多项式pₙ(·;3/4,3/4,3/4,3/4)。文章推导出系数的精确公式，证明其符号交替，建立精确的渐近行为，并表明梅克纳-波拉茨克维奇与连续哈恩展开式可能比经典的埃尔米特展开式更自然地用于研究黎曼猜想与德布吕伊锦-纽曼常数。

ABSTRACT

We study infinite series expansions for the Riemann xi function $Ξ(t)$ in three specific families of orthogonal polynomials: (1) the Hermite polynomials; (2) the symmetric Meixner-Pollaczek polynomials $P_n^{(3/4)}(x;π/2)$; and (3) the continuous Hahn polynomials $p_n\left(x; \frac34,\frac34,\frac34,\frac34 ight)$. The first expansion was discussed in earlier work by Turán, and the other two expansions are new. For each of the three expansions, we derive formulas for the coefficients, show that they appear with alternating signs, derive formulas for their asymptotic behavior, and derive additional interesting properties and relationships. We also apply some of the same techniques to prove a new asymptotic formula for the Taylor coefficients of the Riemann xi function. Our results continue and expand the program of research initiated in the 1950s by Turán, who proposed using the Hermite expansion of the Riemann xi function as a tool to gain insight into the location of the Riemann zeta zeros. We also uncover a connection between Turán's ideas and the separate program of research involving the so-called De Bruijn-Newman constant. Most significantly, the phenomena associated with the new expansions in the Meixner-Pollaczek and continuous Hahn polynomial families suggest that those expansions may be even more natural tools than the Hermite expansion for approaching the Riemann hypothesis and related questions.

研究动机与目标

• 将图尔安的正交多项式展开方法扩展至研究黎曼xi函数及其零点的程序。
• 探究除埃尔米特多项式外，其他正交多项式族是否能提供更自然或更具洞察力的表示方式，以分析黎曼猜想。
• 推导三种特定多项式族中展开系数的精确公式、符号交替性与渐近行为。
• 将这些展开式与德布吕伊锦-纽曼常数以及波利亚-德布吕伊锦流联系起来，从而连接zeta函数理论中两个主要研究方向。
• 为Ξ(t)的泰勒系数提供新的渐近公式，从而为解析数论中长期悬而未决的问题作出贡献。

提出的方法

• 利用积分变换与梅林变换技术，推导Ξ(t)在埃尔米特、对称梅克纳-波拉茨克维奇及连续哈恩多项式展开中的系数公式。
• 应用泊松流与波利亚-德布吕伊锦流，分析变形下零点的演化，从而关联至德布吕伊锦-纽曼常数。
• 通过在R^d上使用径向傅里叶自变换与平衡函数构造正交基，并推导新的展开式。
• 运用梅林变换计算与函数Φ(x)的性质，将Ξ(t)与权函数及正交多项式系统关联。
• 通过生成函数与超几何恒等式，建立fₙ与gₙ多项式序列之间的联系。
• 应用渐近分析，包括朗伯W函数，推导出所有三种展开式中系数的精确渐近公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 黎曼xi函数Ξ(t)是否可以有意义地展开为经典埃尔米特族之外的正交多项式？此类展开是否能为黎曼猜想提供更深层次的洞见？
• RQ2 Ξ(t)的梅克纳-波拉茨克维奇与连续哈恩多项式展开中的系数是否表现出符号交替与可预测的渐近行为？若如此，其与埃尔米特展开相比有何差异？
• RQ3 这些新展开式与德布吕伊锦-纽曼常数之间存在何种关系，特别是在波利亚-德布吕伊锦流下零点排斥与零点吸引的动力学方面？
• RQ4 三种展开式中系数的渐近行为如何比较？哪一族展开式在研究zeta函数零点时展现出更优的收敛性或解析性质？
• RQ5 用于推导fₙ与gₙ展开式的技术能否推广，以产生Ξ(t)泰勒系数的新渐近公式？其精确增长速率为何？

主要发现

• 所有三种展开式（埃尔米特、梅克纳-波拉茨克维奇、连续哈恩）的系数均表现出符号交替，这是其在零点定位分析中具有实用价值的关键特性。
• 梅克纳-波拉茨克维奇系数c₂ₙ的渐近增长为∼16√2 π³/² √n exp(−4√(πn))，表明其衰减迅速。
• 连续哈恩系数d₂ₙ的渐近增长为∼(128×2¹/³π²/³e⁻²π/³/√3) n⁴/³ exp(−3(4π)¹/³n²/³)，其衰减速度甚至快于梅克纳-波拉茨克维奇情形。
• Ξ(t)的泰勒系数a₂ₙ的渐近形式为∼π¹/⁴ / (2²ⁿ⁻⁵/² (2n)!) × (2n/log(2n))⁷/⁴ × exp[2n(log(2n/π) − W(2n/π) − 1/W(2n/π))]，其中W为朗伯W函数。
• 连续哈恩展开表现出最有利的渐近衰减，表明其可能是研究黎曼猜想最自然的工具。
• 推导出泰勒系数a₂ₙ的新渐近公式，改进了先前的估计，并证实其具有超指数衰减。