[论文解读] Orthogonal polynomials on the disk in the absence of finite moments

Peter C. Gibson|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2015

Electromagnetic Scattering and Analysis参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文引入了散射多项式——在单位圆盘上关于测度 $ dxdy/(1 - x^2 - y^2) $ 正交，该测度具有无穷大的偶数矩——并证明它们构成 $ L^2(\text{disk}, dx\thinspace dy/(1 - x^2 - y^2)) $ 的正交基。该构造使用了类似罗德里格斯的公式，并与雅可比多项式相关联，从而在缺乏有限矩的情况下仍能实现完备性。

ABSTRACT

We introduce a new family of orthogonal polynomials on the disk that has emerged in the context of wave propagation in layered media. Unlike known examples, the polynomials are orthogonal with respect to a measure all of whose even moments are infinite.

研究动机与目标

• 建立单位圆盘上的一类新正交多项式族，其测度具有无穷大的偶数矩，具体为 $ (1 - x^2 - y^2)^{-1} dx\thinspace dy $。
• 解决当标准 $ L^2 $ 内积因非可积矩而发散时，正交多项式定义的挑战。
• 证明通过罗德里格斯型公式定义的散射多项式，在测度 $ dx\thinspace dy/(1 - x^2 - y^2) $ 的加权 $ L^2 $ 空间中构成正交基。
• 尽管缺乏有限矩，仍通过谱理论和正交多项式关联，证明这些多项式的完备性与正交性。

提出的方法

• 通过罗德里格斯型公式定义散射多项式：$ \rho^{(p,q)}(z) = \frac{(-1)^p}{q(p+q-1)!}(1 - z\bar{z}) \frac{\tau^{p+q}}{\tau z^p \tau \bar{z}^q}(1 - z\bar{z})^{p+q-1} $，其中 $ p, q \neq 0 $。
• 证明散射多项式是算子 $ -\tilde{\nabla} = -(1 - x^2 - y^2)\nabla/4 $ 的本征函数，本征值为 $ pq $，从而确保不同本征值之间的正交性。
• 将多项式的径向部分表示为雅可比多项式 $ P^{(1, |p-q|)}_{\nu}(2r^2 - 1) $，其中 $ \nu = \text{min}\bigl\brace{p,q\big\brace} - 1 $，从而将其与经典正交多项式联系起来。
• 通过变换 $ h(r,\theta) = \tilde{g}(r,\theta)\tilde{\rho}(r) $，其中 $ \tilde{\rho}(r) = \tilde{1} - r^2 $，将加权 $ L^2 $ 空间与标准 $ L^2 $ 空间关联，从而可利用已知的正交基。
• 通过证明：若一个函数与所有散射多项式正交，则其几乎处处为零，从而证明完备性，利用了 $ \bigl\brace{Q^{(1,|n|)}_{\nu}(u)\big\brace} $ 在 $ L^2([-1,1], du) $ 中的稠密性。
• 通过不同 $ pq $-乘积的本征值差异，以及通过角频率分离 $ e^{i(q-p)\theta} $，证明不同 $ pq $-乘积的多项式之间的正交性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当权重测度 $ (1 - x^2 - y^2)^{-1} dx\thinspace dy $ 具有无穷矩，导致标准 $ L^2 $ 内积无定义时，能否在单位圆盘上构造正交多项式？
• RQ2 尽管单个幂函数不可积，通过罗德里格斯型公式定义的散射多项式是否在空间 $ L^2(\text{disk}, dx\thinspace dy/(1 - x^2 - y^2)) $ 中构成完备正交基？
• RQ3 在标准正交多项式族中缺乏对应 $ \beta $-参数的情况下，散射多项式与经典正交多项式（特别是雅可比多项式）有何关联？
• RQ4 能否利用修正拉普拉斯算子 $ -\tilde{\nabla} $ 的谱性质，证明散射多项式系统的正交性与完备性？
• RQ5 角频率 $ e^{i(q-p)\theta} $ 在确保不同 $ (p,q) $ 索引多项式之间正交性方面起什么作用？

主要发现

• 通过罗德里格斯公式定义的散射多项式 $ \rho^{(p,q)} $ 在 $ L^2(\text{disk}, dx\thinspace dy/(1 - x^2 - y^2)) $ 中正交，正交性源于 $ -\tilde{\nabla} $ 的不同本征值或不同的角频率。
• 多项式 $ \rho^{(p,q)} $ 的径向部分可表示为 $ f^{(p,q)}(r) = c \times (1 - r^2) r^{|p-q|} P^{(1,|p-q|)}_{\nu}(2r^2 - 1) $，从而与雅可比多项式关联，其中 $ \beta = |p - q| $，$ \nu = \text{min}\bigl\brace{p,q\big\brace} - 1 $。
• 系统 $ \bigl\brace{ \rho^{(p,q)} \bigm| \text{min}\bigl\brace{p,q\big\brace} \neq 0 \bigr\brace} $ 构成 $ L^2(\text{disk}, r\thinspace dr\thinspace d\theta / (1 - r^2)) $ 的正交基，其证明基于谱理论及 $ Q^{(1,m)}_{\nu}(u) $ 在 $ L^2([-1,1], du) $ 中的完备性。
• $ L^2(\text{disk}, dx\thinspace dy/(1 - x^2 - y^2)) $ 空间与 $ \tilde{1} - r^2 \times L^2(\text{disk}, r\thinspace dr\thinspace d\theta) $ 等距同构，从而可将标准 $ L^2 $ 空间的完备性传递至加权空间。
• 若函数 $ h $ 与所有 $ \rho^{(p,q)} $ 正交，则其对应的 $ g $ 在 $ L^2(\text{disk}, r\thinspace dr\thinspace d\theta) $ 中必须几乎处处为零，从而证明 $ \rho^{(p,q)} $ 张成空间的正交补为平凡。
• 散射多项式为 $ L^2(\text{disk}, dx\thinspace dy) $ 提供了一个与狄利克雷边界条件一致的基，而泽尼克多项式在边界上非零，因此不具此性质。