[论文解读] Orthogonal projections of discretized sets

Weikun He|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2017

Advanced Topology and Set Theory参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文将Bourgain的离散投影定理推广至$\mathbb{R}^n$中的高阶正交投影，证明在$A$和子空间分布满足非集中性假设的条件下，对于任意维度为$\alpha$的离散集合$A$，其在多数$m$维子空间上的投影维度至少为$\frac{m}{n}\alpha - \epsilon$。该结果通过覆盖数和几何测度论，将分形投影定理推广至更高余维情形。

ABSTRACT

We generalize Bourgain's discretized projection theorem to higher rank situations. Like Bourgain's theorem, our result yields an estimate for the Hausdorff dimension of the exceptional sets in projection theorems formulated in terms of Hausdorff dimensions. This estimate complements earlier results of Mattila and Falconer.

研究动机与目标

• 将Bourgain的离散投影定理从秩一情形推广至$\mathbb{R}^n$中的高阶正交投影。
• 利用尺度$\delta$下的覆盖数，对例外投影方向的Hausdorff维数提供定量估计。
• 建立离散投影定理的高阶版本，通过在集合$A$和Grassmannian上测度$\mu$的非集中性假设，控制投影的大小。
• 推导分形几何后果，包括对维度为$\alpha$的解析集的Hausdorff维数形式的投影定理。

提出的方法

• 使用覆盖数$\mathcal{N}_\delta(A)$来测量尺度$\delta$下离散集合的大小，替代Lebesgue或Hausdorff测度。
• 对$A$施加Frostmann型非集中条件（2），确保$A$在小尺度下不集中。
• 对Grassmannian上测度$\mu$施加非集中条件（3），要求对所有$W$和$\rho \geq \delta$，有$\mu(\mathcal{V}_{\measuredangle}(W,\rho)) \leq \delta^{-\epsilon}\rho^\kappa$。
• 引入角度距离$\operatorname{d_{\measuredangle}}(V,W)$，以定义Grassmannian中Schubert环的邻域$\mathcal{V}_{\measuredangle}(W,\rho)$。
• 应用Łojasiewicz不等式，以$\rho^{1/C}$的形式控制$\mathcal{V}_{\measuredangle}(W,\rho)$的覆盖数，从而实现维数估计。
• 利用Brudnyi的Remez型不等式控制实解析函数在流形上限制族中例外参数集的大小。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非集中性假设下，离散集合$A \subset \mathbb{R}^n$在$m$维子空间上的投影的最小维数是多少？
• RQ2 Bourgain的离散投影定理如何从秩一情形推广至$\mathbb{R}^n$中的高阶投影？
• RQ3 对于满足$\dim_H(\pi_V(A)) \leq \frac{m}{n}\alpha + \epsilon$的例外方向$V$，其Hausdorff维数的最大值是多少？
• RQ4 Grassmannian上测度$\mu$的非集中性如何影响集合$A$的投影大小？
• RQ5 当映射$t \mapsto V(t)$为实解析时，投影族$V(t)$中例外参数集的大小如何？

主要发现

• 对任意$\epsilon > 0$，存在$\delta_0 > 0$，使得对所有$\delta < \delta_0$，任意满足$\mathcal{N}_\delta(A') \geq \delta^\epsilon \mathcal{N}_\delta(A)$的子集$A' \subset A$，其投影$\pi_V(A')$满足$\mathcal{N}_\delta(\pi_V(A')) \geq \delta^{-\frac{m}{n}\alpha - \epsilon}$，对$\mu$-几乎处处的$\mathcal{D} \subset \operatorname{Gr}(\mathbb{R}^n, m)$成立，且$\mu(\mathcal{D}) \geq 1 - \delta^\epsilon$。
• 对于满足$\dim_H(\pi_V(A)) \leq \frac{m}{n}\alpha + \epsilon$的例外方向$V$，其不能支持任何满足对所有$\rho > 0$有$\mu(\mathcal{V}_{\measuredangle}(W,\rho)) \leq \rho^\kappa$的非零测度$\mu$，从而通过Hausdorff维数控制了例外集的大小。
• 在实解析族$V(t)$中，例外参数集的维数至多为$p - 1 + d\kappa$，其中$d$为实解析函数$f(W,t) = \operatorname{d_{\measuredangle}}(V(t),W)^2$的次数，在横截性假设下成立。
• 通过$\delta^{-\epsilon}\rho^\kappa$量化$\mu$的非集中性，使得即使$\mu$在尺度$\delta^\epsilon$内略有集中，只要集中程度受控，定理仍成立。
• 该结果是紧的，因为指数$\frac{m}{n}\alpha$是维度为$\alpha$的集合在投影下预期的维数，且在给定假设下$\epsilon$-损失不可避免。
• 证明依赖于Łojasiewicz不等式，将$\mathcal{V}_{\measuredangle}(W,\rho)$的覆盖数与$\rho^{1/C}$关联；同时依赖于Brudnyi的Remez型不等式，控制实解析族中例外参数集的大小。