[论文解读] Orthogonal tensor decomposition and orbit closures from a linear algebraic perspective

Pascal Koiran|arXiv (Cornell University)|May 13, 2019

Tensor decomposition and applications参考文献 24被引用 6

一句话总结

本文对实数域与复数域上的正交张量分解提供了线性代数的刻画，表明在ℝ上可实现正交Waring分解的对称张量与普通张量可通过二次方程描述；在ℂ上则通过多项式等式与不等式描述。关键贡献在于利用近似同时对角化（ASD）性质，完整刻画了正交张量分解的闭包，且通过反例证明：在ℂ上，ASD条件是成员资格的必要条件但非充分条件。

ABSTRACT

We study orthogonal decompositions of symmetric and ordinary tensors using methods from linear algebra. For the field of real numbers we show that the sets of decomposable tensors can be defined be equations of degree 2. This gives a new proof of some of the results of Robeva and Boralevi et al. Orthogonal decompositions over the field of complex numbers had not been studied previously; we give an explicit description of the set of decomposable tensors using polynomial equalities and inequalities, and we begin a study of their closures. The main open problem that arises from this work is to obtain a complete description of the closures. This question is akin to that of characterizing border rank of tensors in algebraic complexity. We give partial results using in particular a connection with approximate simultaneous diagonalization (the so-called "ASD property").

研究动机与目标

• 使用线性代数方法提供正交张量分解的代数刻画。
• 使用多项式方程与不等式描述ℝ与ℂ上可分解张量的集合。
• 研究正交张量分解的闭包，特别是复数域上的情况。
• 探究ASD性质与张量分解中轨道闭包之间的关系。
• 通过构造反例解决关于轨道闭包结构的开放问题，表明ASD条件是必要但不充分的。

提出的方法

• 将三阶张量的切片表示为n个矩阵，应用同时矩阵约化的技术。
• 应用二次型与零化子子空间的结果，分析复数域上的正交分解。
• 采用近似同时对角化（ASD）概念，刻画正交分解的极限。
• 利用Witt扩张定理与对称矩阵的性质，推导闭包条件。
• 从完全零化子子空间构造对称张量，生成闭包成员资格的反例。
• 使用维数计数论证，证明某些张量族位于正交分解闭包之外。

实验结果

研究问题

• RQ1 在ℝ与ℂ上，哪些代数条件刻画了可实现正交Waring分解的对称张量集合？
• RQ2 在复数域上，如何描述正交可分解张量集合的闭包？
• RQ3 近似同时对角化（ASD）条件是否足以保证张量属于正交可分解张量的闭包？
• RQ4 能否使用多项式方程与不等式完全刻画正交张量分解的轨道闭包？
• RQ5 ℂ上正交可分解张量的代数簇的维数是多少？其与其它张量族相比如何？

主要发现

• 在ℝ上，可实现正交Waring分解的对称张量集合由二次方程定义，为Robeva与Boralevi等人结果提供了新证明。
• 在ℂ上，可实现正交分解的张量集合是一个由多项式等式与不等式定义的可构造集，其闭包通过ASD性质刻画。
• 属于闭包的张量，其切片乘积矩阵（如X_k^T X_l）必须是对称且近似同时对角化的。
• 在ℂ上，正交可分解张量的闭包严格大于仅由ASD性质定义的集合，反例已证明此结论。
• 当n足够大（n ≥ 68）时，存在满足所有ASD条件但不属于正交可分解张量闭包的对称张量。
• ℂ上正交可分解张量的代数簇维数至多为3n(n−1)/2 + n，呈二次有界；而某些对称张量族（如来自完全零化子子空间的张量）维数呈三次增长。