[论文解读] Oscillating behavior of a compartmental model with retarded noisy dynamic infection rate

Michael Bestehorn, Thomas M. Michelitsch|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2023

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models被引用 1

一句话总结

本文通过引入具有记忆效应的分布延迟积分，将SIRS流行病模型扩展为带有延迟反馈的感染率模型。当延迟超过临界阈值时，由此产生的时滞微分方程诱导出持续振荡；而随机噪声则进一步引发频率和振幅变化的不规则、波状暴发。

ABSTRACT

Our study is based on an epidemiological compartmental model, the SIRS model. In the SIRS model, each individual is in one of the states susceptible (S), infected(I) or recovered (R), depending on its state of health. In compartment R, an individual is assumed to stay immune within a finite time interval only and then transfers back to the S compartment. We extend the model and allow for a feedback control of the infection rate by mitigation measures which are related to the number of infections. A finite response time of the feedback mechanism is supposed that changes the low-dimensional SIRS model into an infinite-dimensional set of integro-differential (delay-differential) equations. It turns out that the retarded feedback renders the originally stable endemic equilibrium of SIRS (stable focus) into an unstable focus if the delay exceeds a certain critical value. Nonlinear solutions show persistent regular oscillations of the number of infected and susceptible individuals. In the last part we include noise effects from the environment and allow for a fluctuating infection rate. This results in multiplicative noise terms and our model turns into a set of stochastic nonlinear integro-differential equations. Numerical solutions reveal an irregular behavior of repeated disease outbreaks in the form of infection waves with a variety of frequencies and amplitudes.

研究动机与目标

• 研究缓解措施反馈机制中的时间延迟如何影响SIRS流行病模型中地方性均衡的稳定性。
• 分析由于非线性组分模型中反馈延迟而引发的持续振荡的出现机制。
• 研究环境噪声对延迟SIRS框架中感染率动态的影响。
• 在流行病干预策略中建模具有有限响应时间的实际反馈控制。
• 探索从规则振荡到由噪声驱动的不规则、波状暴发模式的转变过程。

提出的方法

• 通过过去感染水平的记忆积分，构建一个具有反馈控制感染率的非线性SIRS模型。
• 引入通过归一化因果概率密度函数K(t−τ)的分布延迟，以模拟缓解措施中的有限响应时间。
• 通过向感染率添加乘性噪声，推导出一组随机非线性积分微分方程。
• 对地方性均衡点进行稳定性分析，识别出在临界延迟值处的霍普夫分岔点。
• 使用数值模拟求解随机时滞微分方程，并分析感染个体与易感个体的时间序列行为。
• 应用分支理论与数值延续方法，研究从稳定焦点到不稳定焦点并伴随振荡解的转变过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 感染率反馈控制中的有限时间延迟如何影响SIRS模型中方地方性均衡的稳定性？
• RQ2 在何种条件下，感染个体与易感个体的数量会表现出持久的规则振荡？
• RQ3 乘性环境噪声如何与延迟反馈相互作用，从而改变疾病暴发的动力学行为？
• RQ4 该模型能否再现现实世界大流行中观察到的频率和振幅可变的不规则、波状暴发？
• RQ5 记忆核K(t−τ)在塑造感染率和种群振荡的时间动力学方面起到何种作用？

主要发现

• 在反馈机制中引入分布延迟会破坏原本稳定的地方性均衡，当延迟超过临界阈值时，使其转变为不稳定焦点。
• 数值解表明，由于时间延迟反馈的存在，感染个体与易感个体的数量出现持久的规则振荡。
• 将乘性噪声引入感染率后，导致出现频率和振幅多样的不规则、波状暴发。
• 噪声诱导的动力学表现出复杂且非周期性的行为，类似于现实世界的大流行波浪，即使确定性系统仅呈现规则振荡。
• 该模型表明，仅靠延迟和噪声即可生成复杂的大流行动力学，无需额外的非线性项或极限环机制。
• 振荡开始的临界延迟值取决于模型参数，尤其是反馈强度和恢复率。