[论文解读] Oscillating Sequences, Minimal Mean Attractability and Minimal Mean-Lyapunov-Stability

Aihua Fan, Yunping Jiang|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 35被引用 17

一句话总结

本文引入了震荡序列——广义化了Möbius函数与Liouville函数——并定义了最小均吸引（MMA）与最小均-L-稳定（MMLS）动力流。证明了所有震荡序列均与所有MMA及MMLS流线性不相交，将Sarnak猜想推广至一大类零熵系统，包括p进多项式、具有良好约化的有理映射、环面自同构、Feigenbaum映射以及圆周同胚。

ABSTRACT

We define oscillating sequences which include the Möbius function in the number theory. We also define minimally mean attractable flows and minimally mean-L-stable flows. It is proved that all oscillating sequences are linearly disjoint from minimally mean attractable and minimally mean-L-stable flows. In particular, that is the case for the Möbius function. Several minimally mean attractable and minimally mean-L-stable flows are examined. These flows include the ones defined by all $p$-adic polynomials, all $p$-adic rational maps with good reduction, all automorphisms of $2$-torus with zero topological entropy, all diagonalized affine maps of $2$-torus with zero topological entropy, all Feigenbaum zero topological entropy flows, and all orientation-preserving circle homeomorphisms.

研究动机与目标

• 通过引入由谱条件与增长条件定义的更广义序列类——震荡序列，推广Sarnak关于Möbius函数不相交性的猜想。
• 定义并表征最小均吸引（MMA）与最小均-L-稳定（MMLS）动力系统，扩展均等连续性的概念。
• 建立一个一般性不相交结果：所有震荡序列均与所有MMA及MMLS流线性不相交。
• 验证关键的零熵系统——如p进映射、环面自同构、Feigenbaum映射及保向圆周同胚——均为MMA与MMLS，从而确认其与震荡序列的不相交性。
• 为在多种动力系统中证明线性不相交性提供统一框架，并应用于数论序列（如Möbius函数）的分析。

提出的方法

• 通过两个条件定义震荡序列：(1) 指数和中的均匀抵消，即对所有 t ∈ [0,1)，有 ∑ₙ₌₁ᴺ cₙ e⁻²πint = oₜ(N)；(2) ℓλ-有界的部分和，即存在 λ > 1，使得 ∑ₙ₌₁ᴺ |cₙ|λ = O(N)。
• 引入最小均吸引（MMA）与最小均-L-稳定（MMLS）流，作为等连续与均等连续系统的推广，基于返回小邻域的渐近密度。
• 在温和条件下，证明MMA与MMLS流等价于均等连续流，利用一致连续性与不变测度。
• 利用具有游荡区间的Denjoy型反例结构及与旋转流的半共轭关系，分析MMLS性质。
• 利用共轭保持返回时间密度与区间包含关系的性质，证明非游荡区间的渐近密度较小，从而推出MMLS。
• 将主定理应用于具体系统：p进多项式与具有良好约化的有理映射均为等连续，故为MMA与MMLS；通过Denjoy反例与旋转共轭，证明圆周同胚为MMLS。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在超越Möbius函数的更广义数论序列类，其与零熵动力系统线性不相交？
• RQ2 能否将均等连续性的概念推广，以捕捉轨道分离在密度意义下受控而非逐点受控的系统？
• RQ3 p进多项式与具有良好约化的有理映射是否产生最小均吸引或最小均-L-稳定流？
• RQ4 具有无理旋转数的保向圆周同胚是否为MMLS，从而与震荡序列不相交？
• RQ5 能否在环面自同构与Feigenbaum映射等多样系统中统一建立震荡序列与动力系统的不相交性？

主要发现

• 所有满足增长条件 ∑ₙ₌₁ᴺ |cₙ|λ = O(N)（对某个 λ > 1）的震荡序列，均与所有最小均吸引流及最小均-L-稳定流线性不相交。
• Möbius函数与所有保向圆周同胚线性不相交，从而将Karagulyan的结果作为特例得到确认。
• 所有ℤₚ上的p进多项式流及ℙ¹(ℚₚ)上具有良好约化的p进有理映射均为等连续，故为最小均吸引与最小均-L-稳定流。
• 所有拓扑熵为零的2-环面自同构与对角化仿射映射均为最小均吸引与最小均-L-稳定流。
• 所有拓扑熵为零的Feigenbaum映射均为最小均-L-稳定流，因此与震荡序列不相交。
• 具有零勒贝格测度非游荡集的Denjoy反例为MMLS，且其拓扑共轭保持MMLS性质，因此所有此类圆周同胚均为MMLS。