[论文解读] Oscillation of a Linear Delay Impulsive Differential Equation

Leonid Berezansky, Elena Braverman|ArXiv.org|Feb 7, 1995

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 7被引用 41

一句话总结

本文建立了线性时滞脉冲微分方程的振荡行为与其对应非脉冲方程之间等价性的关系。通过利用脉冲系数的逆乘积构造变换方程，作者将振荡分析简化为标准时滞微分方程，从而可将现有的非脉冲振荡准则应用于脉冲系统。

ABSTRACT

The main result of the paper is that the oscillation (non-oscillation) of the impulsive delay differential equation $\dot {x}(t)+\sum_{k=1}^m A_k(t)x[h_k(t)]=0,~~t\geq 0$, $x(τ_j)=B_jx(τ_j-0), \lim τ_j = \infty$ is equivalent to the oscillation (non-oscillation) of the equation without impulses $\dot {x}(t)=\sum_{k=1}^m A_k(t) \prod_{h_k(t)

研究动机与目标

• 通过建立与非脉冲方程之间的桥梁，弥补脉冲时滞微分方程振荡理论的不足。
• 证明脉冲方程的振荡（非振荡）与导出的非脉冲方程的振荡（非振荡）等价。
• 利用非脉冲理论中的已知结果，为脉冲系统提供显式的振荡与非振荡准则。
• 提出一种基于基本函数正性与解表示的新方法，用于分析振荡性。

提出的方法

• 通过将系数替换为原始系数与相关时间区间内脉冲因子的逆乘积，推导出一个非脉冲方程。
• 利用包含基本函数 $ X(t,s) $ 的解表示公式，建立脉冲与非脉冲方程解之间的联系。
• 建立非振荡性与基本函数 $ X(t,s) $ 在 $ t \geq t_0 $ 时为正的等价关系。
• 证明非振荡性与一个类似于广义特征方程的非线性积分不等式可解性之间的等价性。
• 将已知的非脉冲方程振荡准则应用于变换后的方程，从而推导出脉冲情形的振荡结果。
• 构造辅助非脉冲方程 $ \dot{x}(t) + \sum A_k(t) \prod_{h_k(t)<\tau_j\leq t} B_j^{-1} x[h_k(t)] = 0 $ 作为关键变换。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，线性时滞脉冲微分方程的振荡行为与其非脉冲方程的振荡行为等价？
• RQ2 能否通过系数变换将非脉冲时滞方程的振荡准则推广至脉冲系统？
• RQ3 基本函数在确定脉冲时滞方程非振荡解中的作用是什么？
• RQ4 脉冲幅值 $ B_j $ 与脉冲时刻 $ \tau_j $ 如何影响系统的振荡性质？
• RQ5 能否利用非脉冲理论中的已知结果，为脉冲时滞方程推导出显式的振荡条件？

主要发现

• 脉冲方程 $ \dot{x}(t) + \sum A_k(t)x[h_k(t)] = 0 $（其中脉冲满足 $ x(\tau_j) = B_j x(\tau_j - 0) $）的振荡（非振荡）行为，等价于非脉冲方程 $ \dot{x}(t) + \sum A_k(t) \prod_{h_k(t)<\tau_j\leq t} B_j^{-1} x[h_k(t)] = 0 $ 的振荡（非振荡）行为。
• 脉冲系统的非振荡性等价于对所有 $ t \geq t_0 $ 和 $ s \in [t_0, t) $，存在一个正的基本函数 $ X(t,s) $。
• 非振荡性也等价于存在某个 $ t_1 \geq 0 $，使得非线性不等式 $ u(t) \geq \sum_{k=1}^m A_k^{t_1}(t) \exp\left\{ \int_{h_k^{t_1}(t)}^t u(s)ds \right\} \prod_{h_k^{t_1}(t)<\tau_j\leq t} B_j^{-1} $ 可解。
• 推导出显式的振荡准则：若 $ \liminf_{t\to\infty} \int_{\underline{h}(t)}^t \sum A_k(s) \prod_{h_k(s)<\tau_j\leq s} B_j^{-1} ds > 1/e $ 或 $ \limsup_{t\to\infty} \int_{\bar{h}(t)}^t \sum A_k(s) \prod_{h_k(s)<\tau_j\leq s} B_j^{-1} ds > 1 $，则所有解均为振荡的。
• 该方法可通过涉及脉冲效应的系数变换，将已知的非脉冲振荡结果转移至脉冲系统。
• 在时滞有界、系数可测且脉冲系数 $ B_j > 0 $ 的假设下，该等价关系成立。