[论文解读] Oscillations and Random Perturbations of a FitzHugh-Nagumo System

Catherine Doss, Michèle Thieullen|ArXiv.org|Jun 15, 2009

stochastic dynamics and bifurcation参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文利用大偏差理论研究了FitzHugh-Nagumo系统的随机扰动，证明即使在确定性系统为单稳态时，噪声也能引发振荡和新的极限环。研究识别出噪声诱导的分岔与多重稳定动力学，表明随机扰动可在经典确定性参数范围内产生持续振荡。

ABSTRACT

We consider a stochastic perturbation of a FitzHugh-Nagumo system. We show that it is possible to generate oscillations for values of parameters which do not allow oscillations for the deterministic system. We also study the appearance of a new equilibrium point and new bifurcation parameters due to the noisy component.

研究动机与目标

• 研究随机扰动如何在确定性系统不具备振荡行为时，诱导FitzHugh-Nagumo系统产生振荡。
• 分析在快慢动力系统中，由于随机噪声导致的新平衡点与极限环的出现机制。
• 识别由噪声引发的新分岔参数，这些参数在确定性设定中并不存在。
• 建立随机系统表现出多重稳定动力学或通过大偏差估计收敛至极限环的条件。

提出的方法

• 采用带小噪声参数ε与小时间尺度分离参数δ的随机快慢系统，通过Itô随机微分方程建模膜电位与恢复变量。
• 应用大偏差原理分析稳定平衡态吸引域之间的首次 hitting 时间与转移概率。
• 通过快变量Xₜ在给定慢变量Yₜ条件下的渐近分析，利用快子系统的临界点定义稳定分支。
• 基于慢过程Yₜ的位置，分别在y轴的不同区域使用有效向量场x₊*(y)−a与x₋*(y)−a分析Yₜ的慢运动。
• 结合多重稳定性的概念与随机共振理论，解释噪声如何促成稳定态之间的跃迁，从而产生持续振荡。
• 应用Freidlin关于扰动动力系统的大型偏差理论结果，推导系统收敛至极限环或多重稳定状态的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 当确定性系统为单稳态且不振荡时，随机扰动能否在FitzHugh-Nagumo系统中诱导出振荡？
• RQ2 噪声如何改变系统的分岔结构？能否产生确定性情况下不存在的新平衡点或极限环？
• RQ3 噪声强度ε与时间尺度分离δ的何种条件会导致多重稳定振荡行为的出现？
• RQ4 系统动力学如何依赖于ε与δ的相对强度，特别是通过比值ε|log δ|/δ？
• RQ5 即使确定性系统不存在极限环，随机系统是否仍能表现出极限环行为？若能，其对应的参数区域为何？

主要发现

• 即使确定性系统为单稳态（即a < a₀或a > a₁），噪声仍可诱导FitzHugh-Nagumo系统产生持续振荡，体现了一种随机共振现象。
• 由于噪声诱导的在多重稳定态之间的跃迁，随机系统中出现了一个确定性模型中不存在的新极限环。
• 系统表现出一个与确定性参数a₀和a₁不同的新分岔参数，该参数源于噪声与快慢结构的相互作用。
• 当c > S时，慢过程Yₜ以概率收敛至周期为Tᵃ(c) = T₁ᵃ(c) + T₂ᵃ(c)的极限环，该极限环由快子系统右、左稳定分支之间的跃迁形成。
• 当a < x₋*(y*)或a > x₊*(y*)时，系统不收敛至极限环，而是收敛至稳定平衡点，表明噪声诱导的振荡依赖于参数取值。
• 通过首次 hitting 时间的大偏差估计，以及慢过程在y轴不同区域对有效向量场的统一收敛性，建立了系统收敛至极限环的结论。