[论文解读] Osculating Varieties of Veronesean and their higher secant varieties

Alessandra Bernardi, Maria Virgina Catalisano+2 more|ArXiv.org|Mar 8, 2004

Tensor decomposition and applications参考文献 11被引用 18

一句话总结

本文利用反系统与对偶性理论，研究了Veronese嵌入的挠切曲面的高阶弦曲面的维数。它建立了这些弦曲面为缺陷曲面的条件，并基于形式与重点系的组合性质，给出了缺陷性的显式下界。

ABSTRACT

We consider the varieties $O_{k,n.d}$ of the k-osculating spaces to the Veronese varieties, the $d-$uple embeddings of $\PP n$; we study the dimension of their higher secant varieties. Via inverse systems (apolarity) and the study of certain spaces of forms we are able, in several cases, to determine whether those secant varieties are defective or not.

研究动机与目标

• 确定Veronese嵌入的挠切曲面的高阶弦曲面何时为缺陷曲面。
• 刻画 $O_{k,n,d}^s$（即Veronese嵌入 $X_{n,d}$ 的 $k$-阶挠切曲面的 $(s-1)$-阶高阶弦曲面）的缺陷性。
• 应用反系统与对偶性技术，分析挠切空间线性张量的维数。
• 基于形式次数与变量数相关的二项式系数，建立 $O_{k,n,d}^s$ 缺陷性的定量下界。
• 推测缺陷性仅在重点系施加非预期条件时出现，将几何缺陷性与预设问题联系起来。

提出的方法

• 利用Terracini引理由 $O_{k,n,d}^s$ 的维数与一般点处切空间的线性张量维数关联。
• 通过反系统（对偶性）在形式与理想之间建立对偶，研究挠切空间张量中的线性相关性。
• 分析向量空间 $W_1 + \cdots + W_s = \big\<x_0^\beta R_k, x_0^{\beta-1}F_1 R_1, \dots, x_{s-1}^\beta R_k, x_{s-1}^{\beta-1}F_s R_1\big\rangle$，其中 $\beta = d - k$，以计算期望维数与实际维数。
• 通过计算 $R_d$ 中不包含于张量内的单项式数量，检测缺陷性，尤其在 $s \leq n$ 或 $s = n+1$ 的情形下。
• 利用 $s$-元组 $k$-重点及其理想 $\mathcal{I}_{Z,X} \otimes \mathcal{L}$ 的结构，通过 $h^0$-消失性计算上同调维数与缺陷。
• 通过识别张量生成元之间独立关系（特别是 $x_i^\beta R_k \cap x_i^{\beta-1}F_{i+1}R_1$ 交集与 $i \neq j$ 时的交叉项 $x_i^\beta x_j^\beta F$）推导缺陷界。

实验结果

研究问题

• RQ1 何时Veronese嵌入 $X_{n,d}$ 的 $k$-阶挠切曲面的 $s$-阶高阶弦曲面 $O_{k,n,d}^s$ 为缺陷曲面？
• RQ2 在 $n$、$d$、$k$ 与 $s$ 之间存在何种精确的组合条件，导致 $O_{k,n,d}^s$ 的缺陷性？
• RQ3 重点系的预设性质如何与 $O_{k,n,d}^s$ 的缺陷性相关联？
• RQ4 能否利用源自次数与变量数的二项式系数，对 $O_{k,n,d}^s$ 的缺陷性进行下界估计？
• RQ5 在何种条件下 $O_{k,n,d}^s$ 无法达到其期望维数，其失败原因是什么？

主要发现

• 当 $s \leq n$ 且 $k+2 \leq d \leq 2k$ 时，曲面 $O_{k,n,d}^s$ 为缺陷曲面，缺陷 $\delta \geq \binom{n-s+d}{d}$，此时期望维数为 $\binom{d+n}{n}$。
• 当 $s \leq n$ 且期望维数为 $s\binom{k+n}{n} + sn$ 时，缺陷至少为 $\binom{s}{2} \binom{2k-d+n}{n}$，其来源为 $x_i^\beta x_j^\beta F$ 项之间的独立关系。
• 当 $s = n+1$，$k+2 \leq d \leq 2k$，且期望维数为 $ (n+1)\left(\binom{k+n}{n} + n\right) $ 时，缺陷满足 $\delta \geq \binom{n+1}{2} \binom{2k-d+n}{n}$。
• 当 $s = n+1$，$n \geq \frac{k+2}{d-k-2}$，且期望维数为 $N = \binom{d+n}{n}$ 时，缺陷至少为 $\binom{(n+1)(d-k-1)-(d+1)}{n}$，该结果通过计算具有有界指数的 $d$ 次单项式数量得出。
• 缺陷源于张量生成元之间的非平凡关系，特别是与重点理想相关的交集，以及不属于张量的 $R_d$ 中对称单项式。
• 作者推测 $O_{k,n,d}^s$ 的缺陷性仅在重点系 $X$ 或 $T$ 的预设施加非预期条件时发生，从而将几何缺陷性与代数预设问题联系起来。