[论文解读] Out-of-time-order correlator in weakly perturbed integrable systems

Tomer Goldfriend, Jorge Kurchan|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2019

Quantum chaos and dynamical systems被引用 4

一句话总结

本文通过out-of-time-order correlator（OTOC）研究弱扰动可积系统中的量子李雅普诺夫指数，推导出类似于经典切空间动力学的线性超算符方程。研究发现，在半经典极限下，量子李雅普诺夫指数按ε^{1/3}缩放，与经典值一致，但在高度量子化 regime 下，量子涨落会抑制混沌，并进一步抑制小扰动下的ε^{1/3}依赖关系。

ABSTRACT

Classical quasi-integrable systems are known to have Lyapunov times much shorter than their ergodicity time, but the situation for their quantum counterparts is less well understood. As a first example, we examine the quantum Lyapunov exponent -- defined by the evolution of the 4-point out-of-time-order correlator (OTOC) -- of integrable systems which are weakly perturbed by an external noise, a setting that has proven to be illuminating in the classical case. In analogy to the tangent space in classical systems, we derive a linear superoperator equation which dictates the OTOC dynamics. We find that {\em i)} in the semi-classical limit the quantum Lyapunov exponent is given by the classical one: it scales as $ε^{1/3}$, with $ε$ being the variance of the random drive, leading to short Lyapunov times compared to the diffusion time (which is $\sim ε^{-1}$). {\em ii)} in the highly quantal regime the Lyapunov instability is suppressed by quantum fluctuations, and {\em iii)} for sufficiently small perturbations the $ε^{1/3}$ dependence is also suppressed -- another purely quantum effect which we explain. Several numerical examples which demonstrate the theoretical predictions are given. The implication for the results to the behavior of real near-integrable systems, and for quantum limits on chaos are briefly discussed.

研究动机与目标

• 理解弱扰动可积系统中量子李雅普诺夫指数的行为，其经典对应物表现出短李雅普诺夫时间。
• 弥合经典准可积动力学与其量子对应物之间在混沌与不稳定性方面的差距。
• 为弱噪声下可积系统中的OTOC动力学推导经典切空间方程的量子类比。
• 分析半经典行为与纯粹量子效应在混沌涌现中的相互作用。
• 为近可积量子系统中李雅普诺夫不稳定性被量子抑制提供数值与解析证据。

提出的方法

• 推导控制弱扰动可积量子系统中四点OTOC时间演化的线性超算符方程。
• 通过OTOC的指数增长速率定义量子李雅普诺夫指数，类似于经典混沌指标。
• 利用半经典极限将量子OTOC动力学与经典李雅普诺夫行为联系起来，特别是与噪声方差ε的ε^{1/3}缩放关系。
• 在高度量子化 regime 下分析系统，以评估量子涨落在抑制不稳定性中的作用。
• 识别并解释小扰动下ε^{1/3}依赖关系被抑制的现象，作为纯粹量子效应。
• 进行数值模拟，以在不同扰动强度与量子行为 regime 下验证理论预测。

实验结果

研究问题

• RQ1 在弱扰动可积系统中，量子李雅普诺夫指数如何表现？其在半经典极限下是否恢复经典的ε^{1/3}缩放？
• RQ2 量子涨落能在多大程度上抑制近可积量子系统中的李雅普诺夫不稳定性？
• RQ3 为何在小噪声强度下，ε^{1/3}对扰动方差的依赖关系被抑制？这一量子效应的起源是什么？
• RQ4 在弱扰动下，量子可积系统中的OTOC动力学与经典切空间动力学相比如何？
• RQ5 这些发现对混沌的量子极限以及真实近可积系统的行为有何启示？

主要发现

• 在半经典极限下，量子李雅普诺夫指数按ε^{1/3}缩放，与经典值一致，导致李雅普诺夫时间远短于扩散时间∼ε^{-1}。
• 在高度量子化 regime 下，量子涨落抑制了李雅普诺夫不稳定性，表明其与经典混沌存在根本差异。
• 对于足够小的扰动，ε^{1/3}依赖关系被抑制，这是一种经典动力学中不存在的纯粹量子效应。
• 为OTOC动力学推导出的线性超算符方程，是经典切空间方程的量子类比。
• 数值示例在半经典与高度量子化两个 regime 下均证实了理论预测。
• 结果表明，量子效应在近可积系统中对混沌的涌现施加了根本性限制。